Sprawdzanie, czy liczba spełnia równanie

Spis treści

• Kiedy liczba spełnia równanie?
• W jakich zadaniach sprawdzamy, czy liczba spełnia równanie?
• Jak sprawdzić, czy liczba spełnia równanie?
• Możliwe trudności i częste błędy

Kiedy liczba spełnia równanie?

Weźmy takie równanie:

To równanie jest spełnione przez liczbę . Dlaczego? Ponieważ gdy w miejsce -a wstawimy , to po obu stronach otrzymamy to samo.

Zdanie "pięć równa się pięć" jest prawdziwe - dlatego liczba spełnia to równanie.

Natomiast tego równania nie spełnia na przykład liczba , ponieważ jeśli wstawimy ją do równania, otrzymamy po obu stronach różne liczby.

To, co nam wyszło, nie jest prawdą, bo trzy nie jest równe cztery - dlatego liczba nie jest liczbą spełniającą to równanie.

W jakich zadaniach sprawdzamy, czy liczba spełnia równanie?

Polecenia mogą brzmieć różnie:

Wszystkie te polecenia znaczą dokładnie to samo 🙂

Możemy też dostać zadanie zamknięte, na przykład takie:

Jak sprawdzić, czy liczba spełnia równanie?

Jak już wspomniałam, żeby sprawdzić, czy liczba spełnia równanie, musimy po prostu podstawić tę liczbę w miejsce -a i sprawdzić, co otrzymamy. Jeśli wyjdzie nam coś, co ewidentnie jest nieprawdą (na przykład albo ) to znaczy, że ta liczba nie spełnia równania. Jeśli natomiast po obu stronach wyjdzie nam to samo (czyli na przykład albo , to znaczy, że dla tej liczby równanie jest prawdziwe. Przećwiczmy to w zadaniu.

Wstawiamy dwójkę w miejsce -a.

Teraz wykonujemy działania, zgodnie z kolejnością wykonywania działań. Jest ona następująca:

Najpierw wykonujemy działania w nawiasach.

Teraz potęgowanie.

Następnie mnożenie.

A na końcu dodawanie.

Wyszła nam oczywista bzdura, bo siedem nie jest równe dziesięć.

Odpowiedź: Liczba nie spełnia tego równania.

To ważne, by dać odpowiedź, tak by nauczyciel wiedział, że z tego, co Ci wyszło, został wyciągnięty odpowiedni wniosek.

W przypadku zadań zamkniętych po kolei podstawiamy liczby, aż trafimy na tę dobrą (chyba że mamy test wielokrotnego wyboru - wtedy musimy sprawdzić wszystkie odpowiedzi - no ale to zdarza się rzadko).

Możliwe trudności i częste błędy

Jak widzisz, sama zasada jest bardzo prosta. Wiele osób jednak wykonuje dobrze pierwszy krok, a potem ginie w rachunkach. Aby tak się nie stało, bardzo ważne jest, by cały czas pilnować kolejności wykonywania działań. W dalszej części pokażę Ci w sposób bardzo, bardzo łopatologiczny jak rozwiązywać trudniejsze rachunkowo przykłady.

Minus przed potęgą

Zaczynamy od wstawienia liczby do równania:

Teraz wykonujemy działania. Zaczynamy od potęgowania.

U nas nie jest w nawiasie, więc żadna potęga nie obejmuje minusa.

Nie mamy nigdzie mnożenia ani dzielenia, więc następnym krokiem jest dodawanie i odejmowanie.

Wyszła nam nieprawda, więc:

Odpowiedź: To równanie nie jest prawdziwe dla liczby .

"Trudne" liczby

Zero

Zaczynamy od podstawienia liczby zero do równania.

Teraz wykonujemy działania. Tu dla przypomnienia:

• zero do dowolnej potęgi to po prostu zero:

• zero pomnożone przez dowolną liczbę to zero:

Najpierw potęgowanie.

Teraz mnożenie.

Na końcu odejmowanie.

Wyszła nam nieprawda, więc

Odpowiedź: Liczba nie jest rozwiązaniem tego równania.

Ułamki

Jak zawsze zaczynamy od wstawienia liczb do równania. Co ważne, tam, gdzie jest podniesiony do potęgi, wstawiamy ułamek w nawiasach - gdyby tych nawiasów nie było, potęgowalibyśmy tylko górę ułamka.

Teraz wykonujemy działania. Zaczynamy od potęgowania.

Teraz wykonujemy mnożenie. Przy tej okazji możemy skracać tam, gdzie się da.

Na końcu wykonujemy dodawanie i odejmowanie. W tym miejscu możemy zauważyć, że i nam się zredukują.

Dodajemy to, co zostało.

Teraz chcemy porównać ułamki, aby sprawdzić, czy po obu stronach mamy to samo. Aby było to możliwe, potrzebujemy wspólnego mianownika oraz takiej samej formy ułamka. Zacznę od tego, że ułamek po prawej stronie przekształcę do ułamka zwykłego.

Możemy zauważyć, że ten ułamek da się skrócić przez .

Po obu stronach wyszło nam to samo.

Odpowiedź: To równanie jest prawdziwe dla liczby .

Większość działań na ułamkach najłatwiej wykonuje się, gdy ułamek jest w formie ułamka zwykłego. Dlatego zanim wstawimy nasz ułamek do równania, zmienimy jego formę z liczby mieszanej na ułamek zwykły.

Wstawiamy w miejsce -a. Pamiętamy o tym, że jeśli jest podniesiony do potęgi, ułamek wstawiamy w nawiasach.

Zaczynamy od potęgowania.

Teraz mnożenie. Przy tej okazji możemy poskracać ułamki tam, gdzie to możliwe.

Na końcu odejmowanie. Aby je wykonać, potrzebujemy wspólnego mianownika. Będzie nim .

Wykonujemy odejmowanie.

Otrzymaliśmy po obu stronach to samo, zatem:

Odpowiedź: Liczba jest rozwiązaniem tego równania.

Podobnie jak w poprzednim zadaniu, zaczniemy od przekształcenia ułamka do formy ułamka zwykłego.

Wstawiamy do równania. Tam, gdzie przy -ie stoi potęga, wstawiamy ułamek w nawiasach.

Zaczynamy od wykonania działania w nawiasach. W tym celu zapiszę jako .

Teraz potęgowanie.

Następnie mnożenie.

Teraz dodawanie. Zacznę od sprowadzenia ułamków do wspólnego mianownika, którym będzie .

Dodajemy ułamki.

Możemy zauważyć, że liczba po lewej stronie jest ujemna, a po prawej dodatnia, więc na pewno nie są sobie równe.

Odpowiedź: Liczba nie jest pierwiastkiem tego równania.

Pierwiastki

Zaczynamy od wstawienia do równiania. Tam, gdzie jest podniesiony do potęgi, pierwiastek wstawiamy w nawiasach.

Zgodnie z kolejnością wykonywania działań, powinniśmy teraz wykonać działania w nawiasie. Problem polega na tym, że nie możemy dodać do siebie liczb i , dlatego musimy posłużyć się wzorem skróconego mnożenia.

Teraz potęgowanie. Będziemy korzystać z tego, że .

Następnie mnożenie.

Na końcu mamy dodawanie. Pamiętamy przy tym, że osobno dodajemy pierwiastki, a osobno resztę - dlatego po lewej stronie nic nie możemy dodać.

Wyszło nam co innego, dlatego

Odpowiedź: Liczba nie jest rozwiązaniem tego równania.

Zaczynamy od podstawienia. Tu również używamy nawiasów tam, gdzie jest w potędze (obejmujemy nimi całą liczbę, którą sprawdzamy, nie tylko pierwiastek).

Wykonujemy potęgowanie.

Teraz mnożenie.

Na końcu dodawanie i odejmowanie. Możemy tu zauważyć, że wszystko nam się zredukuje.

Mamy po obu stronach tę samą liczbę.

Odpowiedź: Liczba jest rozwiązaniem tego równania.

Liczby ujemne

Tu w równaniu nie mamy -a, tylko , jednak zasada działania jest dokładnie taka sama. Niewiadoma w równaniu może być oznaczona dowolną literą, choć przyjęło się, że najczęściej jest to .

Jak zawsze zaczynamy od podstawienia liczby do równania. Tu pamiętamy o tym, że ujemne liczby zawsze wstawiamy do równania w nawiasach (w przeciwnym razie potęga nie obejmie minusa).

Teraz wykonujemy działania. Zwłaszcza przy ujemnych liczbach bardzo ważne jest trzymanie się kolejności wykonywania działań. Najpierw potęgowanie. Pamiętamy o tym, że przy parzystej potędze minus znika, a przy nieparzystej zostaje.

Teraz wykonujemy mnożenie.

Na końcu dodawanie i odejmowanie. Zanim jednak do niego przejdziemy, opuścimy nawiasy.

Teraz wykonujemy działania.

Otrzymaliśmy po obu stronach to samo.

Odpowiedź: Liczba spełnia to równanie.

Podchwytliwa treść zadania

Na koniec klasyk, czyli zadanie zamknięte o następującej treści:

Czyli poprawną odpowiedzią jest ta liczba, która nie spełnia równania, zatem sprawdzając liczby szukamy takiej, dla której po obu stronach wyjdą nam różne liczby. Spróbuj zrobić to zadanie samodzielnie 🙂

Jeśli chodzi o to, od której liczby zacząć, to można oczywiście iść po kolei, ale ja jestem zwolenniczką systemu polegającego na tym, że zaczynamy od tej odpowiedzi, dla której mamy najłatwiejsze rachunki (np. od jedynki), a trudniejsze przykłady (np. z liczbami ujemnymi) zastawiamy na koniec licząc na to, że nie będziemy musieli ich robić, bo wcześniej znajdziemy dobrą odpowiedź.

Na końcu chcę zaznaczyć, że nie było moim celem pokazać, jak najszybciej sprawdzić, czy liczba spełnia równanie, lecz jak to zrobić, by na pewno się nie pomylić. Jeśli czujesz się pewnie w tego typu zadaniach, możesz w różnych miejscach chodzić na skróty 🙂