Potęgi o ułamkowym wykładniku

Zazwyczaj mamy do czynienia z potęgą, której wykładnik jest liczbą całkowitą, na przykład: . Dziś zajmiemy się takimi potęgami, które mają ułamkowy wykładnik, na przykład .

Zacznijmy od podstawowego wzoru:

Oznacza to po prostu tyle, że potęgę o ułamkowym wykładniku możemy zamienić na pierwiastek. Wtedy mianownik naszej potęgi wędruje nad "dzióbek" pierwiastka. Przykłady:

W jakich zadaniach możemy to wykorzystać? Na przykład w takim:

Gdy mamy ułamek w potędze, to za bardzo nie wiadomo, jak to obliczyć. Natomiast z pierwiastkami potrafimy sobie radzić. Dlatego zaczniemy od skorzystania ze wzoru:

Powstało nam coś, co bez problemu jesteśmy w stanie obliczyć:

Inny przykład:

Najpierw za pomocą wzoru zamienimy potęgę na pierwiastek:

Teraz możemy go obliczyć:

Mamy więc pierwsze zastosowanie: zamieniamy potęgę na pierwiastek po to, by obliczyć jej wartość. Łatwiej jest obliczyć niż .

__________________________________________________

Teraz inne zadanie, w którym będziemy potrzebować naszego wzoru:

Mamy zapisać liczbę w postaci potęgi dwójki, dlatego teraz będziemy nasz wzór stosować w drugą stronę, czyli będziemy przechodzić od pierwiastka do potęgi.

Kolejny przykład:

Tutaj sprawa trochę się komplikuje, bo nad "dzióbkiem" pierwiastka nie mamy żadnej liczby. W tej sytuacji musimy ją po prostu dopisać. Jeśli tej liczby nie ma, to domyślnie mamy pierwiastek drugiego stopnia.

Teraz już możemy skorzystać ze wzoru:

Spróbujmy teraz zrobić takie zadanie:

Mamy zapisać w postaci potęgi, no to lecimy ze wzorem:

No i wszystko fajnie, tylko miała być potęga liczby , a jest potęga liczby . Szczęśliwie jednak to inaczej . Wstawiamy:

Chcemy mieć jedną potęgę, więc, aby pozbyć się nawiasów, wykonujemy potęgowanie potęgi:

Mamy więc kolejne zastosowanie tego wzoru - zapisywanie wyrażenia w postaci potęgi jakiejś liczby. Przy okazji - zwróć uwagę, co nam powstało. Do tej pory mieliśmy potęgi typu , na przykład . Teraz powstała nam potęga typu , czyli . Różnica jest taka, że na górze mamy inną liczbę, niż . Nauczymy się teraz radzić sobie z takimi potęgami.

Wzór wygląda tak:

Ja zapamiętuję go w ten sposób, że to, co jest niżej w ułamku, będzie też niżej w pierwiastku, a to, co jest wyżej w ułamku, będzie też wyżej w pierwiastku.

Zobaczmy to na przykładach:

Przećwiczmy to w zadaniach.

Tak jak poprzednio, zaczniemy od pozbycia się ułamkowej potęgi.

to coś, co potrafimy obliczyć - jest to . Wstawiamy to do naszego działania.

Dalej już z górki:

Inny przykład:

Chcemy się pozbyć ułamkowej potęgi:

Szukamy teraz, ile to jest , czyli próbujemy znaleźć liczbę, która podniesiona do czwartej potęgi da nam . Taką liczbą jest . Wstawiamy:

No i ostatni krok - potęgowanie.

________________________________________

Tak jak w przypadku poprzedniego wzoru, tak i teraz możemy nasz wzór stosować również w drugą stronę. W następnym zadaniu tak właśnie będzie.

Mamy zapisać to wyrażenie w postaci potęgi, potrzebujemy więc wzoru, który pozwoli nam zamienić pierwiastek w potęgę.

Jest to ten sam wzór, co poprzednio, tylko zapisany w odwrotnej kolejności. No to podstawiamy 🙂

I tyle 🙂 Teraz trudniejszy przykład:

Tak jak poprzednio, zaczynamy od wzoru:

No wszystko fajnie, tylko miała być potęga liczby , a jest potęga liczby . No to musimy zapisać inaczej liczbę . Szczęśliwie jest to . Wstawiamy:

Nie jest to jeszcze gotowy wynik - pozbywamy się nawiasów, wykonując potęgowanie potęgi:

W zasadzie to już jest poprawny wynik, ale możemy go jeszcze uładnić, skracając ułamek:

I jeszcze taki przykład:

Znowu zaczynamy od wzoru:

Nie mamy żadnej liczby nad dzióbkiem, a więc domyślnie jest ona równa .

Możemy sobie skrócić nasz ułamek

Ten przykład doprowadził nas do kolejnego wzoru:

Czyli jeśli w potędze jest taka sama liczba, jak nad dzióbkiem pierwiastka, to możemy się pozbyć i potęgi, i pierwiastka.

_____________________________________

W przykładach, które pojawiły się do tej pory, mieliśmy okazję przećwiczyć stosowanie potęgi o ułamkowym wykładniku w połączeniu z potęgowaniem potęgi. Teraz przećwiczymy także mnożenie i dzielenie potęg.

Mamy zapisać w postaci potęgi, no to wiadomo, co robimy - korzystamy ze wzoru, który zamienia pierwiastek w potęgę:

OK, mamy już dwie trójki, to teraz fajnie by było zrobić z nich jedną trójkę. Mamy tu dzielenie potęg, więc skorzystamy z tego wzoru:

Aby z niego skorzystać, musimy mieć dwie potęgi, dlatego zamiast zapiszemy :

Wykonujemy odejmowanie:

Kolejny przykład:

Tak jak poprzednio, mamy zapisać w postaci potęgi, więc potrzebujemy wzoru, który z pierwiastka zrobi potęgę.

Najpierw pozbędziemy się pierwiastka, który jest w środku (można też zacząć od zewnętrznego, w obu przypadkach będzie dobrze).

Teraz zrobimy sobie jedną potęgę pod pierwiastkiem, wykonując mnożenie potęg.

Dobra, to teraz, gdy już mamy wszystko uporządkowane, możemy się pozbyć zewnętrznego pierwiastka:

Na koniec wykonujemy potęgowanie potęgi.

Mamy już w zasadzie gotowy wynik, ale warto jeszcze skrócić ułamek:

______________________________________

Mamy już ogarnięty ułamkowy wykładnik w połączeniu z mnożeniem i dzieleniem potęg oraz potęgowaniem potęgi. Do pełni szczęścia brakuje nam jeszcze potęgi o ujemnym wykładniku.

Weźmy na przykład .

Na potęgi o ujemnym wykładniku mamy taki wzór:

No to działamy:

Dalej robimy to samo, co do tej pory:

Możemy sobie te dwa kroki skleić w jeden wzór:

W ten sposób w jednym kroku przejdziemy od potęgi do pierwiastka. Przykład:

Dobra, na dziś to tyle 🙂