Wyrażenia algebraiczne

Wzory skróconego mnożenia – część 2

W pierwszej części pokazałam Ci, jak korzystać ze wzorów skróconego mnożenia do przechodzenia od wyrażenia z nawiasami do wyrażenia bez nawiasów. Jest to zastosowanie prostsze i częstsze niż działanie w drugą stronę, jednak właśnie tego (czyli przechodzenia od wyrażenia bez nawiasów do wyrażenia z nawiasami) będziemy się dziś uczyć. Jest to umiejętność niezbędna do rozwiązania wielu zadań dowodowych, a także ułatwiająca życie przy równaniach kwadratowych.

W artykule pojawia się zapis, który wymaga uściślenia. Oznaczyłam go gwiazdką (o taką *). Wyjaśnienie znajduje się na dole (nie musisz do niego scrollować w trakcie czytania, możesz je na spokojnie przeczytać na końcu).

Zacznijmy od przypomnienia sobie naszych wzorów:

W takiej formie się ich uczymy. Dziś jednak zapiszemy je sobie odwrotnie:

Dlaczego korzystanie z nich w tę stronę jest trudniejsze? Po pierwsze: forma z nawiasami jest bardziej charakterystyczna, więc łatwiej jest zauważyć, że wyrażenie pasuje nam do wzoru - tu nie jest to takie oczywiste. Na matematyce przewija Ci się przed oczami mnóstwo różnych wyrażeń algebraicznych i wychwycenie, że akurat w tym możemy zastosować dany wzór, wymaga nieustannej czujności. Po drugie: gdy już zauważymy, że możemy skorzystać ze wzoru, trudniej jest rozstrzygnąć, co jest naszym i . Mimo tego na pewno to ogarniesz, jeśli tylko trochę poćwiczysz 🙂

___________________________________________________

Zaczynamy od tego wzoru:

Treść zadania mogłaby wyglądać na przykład tak:

Zapisz wyrażenie w postaci iloczynu.

To, na co musimy zwrócić uwagę, to to, że w naszym wyrażeniu mamy dwa człony, które są kwadratami, oraz minus przed jednym z nich. To nam pozwoli zauważyć, że należy skorzystać ze wzoru.

No dobra, to było proste, teraz coś trudniejszego 😉

Zapisz wyrażenie w postaci iloczynu.

Podobnie jak poprzednio, musimy zauważyć, że w naszym wyrażeniu są dwa człony będące kwadratami oraz minus przed jednym z nich - to jest dla nas sygnał, że możemy skorzystać ze wzoru.

Tylko co jest naszym i ? Popatrzmy na nasze wyrażenie:

To, co stoi przed minusem, to , natomiast to, co stoi za minusem, to :

Aby znaleźć i , musimy po prostu użyć pierwiastka:

*

*

Możemy teraz podstawić to do wzoru:

Tu wciąż było w miarę łatwo, bo w obu członach kwadrat był w jawnej postaci. Czasem jednak jest on ukryty, jak tutaj. Tak na marginesie: polecenie "zapisz wyrażenie w postaci iloczynu", to nie jedyna opcja. Treść zadania może wyglądać też tak:

Rozłóż na czynniki wyrażenie .

Mamy minus, przy jednym z członów stoi kwadrat, ale co z drugim członem? Drugi człon też jest kwadratem, bo to 🙂

Znajdujemy teraz nasze i :

Teraz możemy podstawić to do wzoru:

Kolejny przykład, gdzie możliwość zastosowania wzoru nie jest oczywista:

Zapisz wyrażenie w postaci iloczynu.

No dobra, mamy minus, pierwszy człon jest kwadratem, a co z drugim? W pewnym sensie drugi człon też jest kwadratem, bo to . Działamy dokładnie tak samo, jak poprzednio - szukamy naszego i .

Podstawiamy do wzoru:

Pamiętaj, że człony wyrażenia mogą być przedstawione w odwrotnej kolejności. to to samo, co - w takiej sytuacji po prostu zamieniamy człony miejscami (pamiętając, że minus ma zostać przed tym samym członem - w tym przypadku przed trójką).

Ten wzór był najprostszy z trzech, które znamy. Teraz przechodzimy do następnego.

___________________________________________________

Wzór, którym teraz się zajmiemy, wygląda tak:

On jest już mniej charakterystyczny i przy nim musimy się nieco więcej narobić. Aby rozpoznać, że to właśnie ten wzór musimy zastosować, potrzebujemy wyrażenia składającego się z trzech członów, z których dwa będą kwadratami (czasami jeden z kwadratów może być zakamuflowany, jak mogłeś zobaczyć w poprzednim przykładzie) oraz zawierającego jeden minus. W przeciwieństwie do poprzedniego przypadku, to nam jeszcze nie gwarantuje, że można zastosować wzór, a jedynie jest sygnałem, że należy spróbować.

Zaczniemy od takiego zadania:

Rozłóż na czynniki wyrażenie .

Mamy wyrażenie składające się z trzech członów. Dwa z nich są kwadratami. Mamy też jeden minus. Spróbujemy więc zastosować wzór. Zaczynamy od znalezienia naszego i . Człony w wyrażeniu, przed którymi nie stoi minus, to i .

Zanim skorzystamy ze wzoru, musimy najpierw sprawdzić, czy nasze wyrażenie w ogóle do tego wzoru pasuje. Zauważ, że dopasowaliśmy człony i . Musimy jeszcze upewnić się, że zgadza nam się człon . Zgodnie z wyrażeniem z treści zadania powinien on być równy - sprawdźmy, czy tak faktycznie jest.

Wszystko się zgadza, możemy więc skorzystać z naszego wzoru:

Udało się 🙂 Teraz, żebyś zobaczył, że to sprawdzanie członu faktycznie ma sens, pokażę Ci przykład wyrażenia, w którym z pozoru można zastosować wzór skróconego mnożenia, jednak po sprawdzeniu okaże się, że jednak nie.

Rozłóż na czynniki wyrażenie .

Wyrażenie składa się z trzech członów, przed jednym stoi minus, dwa z nich są kwadratami - jest duża szansa, że uda nam się zastosować wzór. Najpierw ustalamy, co jest naszym i . Człony i to te, przed którymi nie stoi minus.

Sprawdzamy teraz, czy zgadza nam się człon - zgodnie z naszym wyrażeniem powinien on być równy .

Jak widzisz, nie możemy do tego wyrażenia zastosować wzoru skróconego mnożenia - moglibyśmy to zrobić, gdybyśmy mieli wyrażenie . W tej sytuacji, aby wykonać polecenie z treści zadania, musielibyśmy potraktować to wyrażenie jako równanie kwadratowe, policzyć deltę i tak dalej, ja jednak nie będę tego teraz robić, bo nie o tym jest ten post 🙂

W następnym przykładzie chciałabym zwrócić Twoją uwagę na fakt, że czynniki w wyrażeniu nie muszą stać w takiej samej kolejności, jak we wzorze (bo dodawanie jest przemienne).

Rozłóż na czynniki wyrażenie .

Mamy trzy człony. Mamy jeden minus. Powinniśmy mieć jeszcze dwa kwadraty. Jeden jest wyraźnie widoczny, więc możemy założyć, że drugi też gdzieś jest, tylko go nie widać na pierwszy rzut oka 😉 Ustalamy więc, co jest naszym i . Człony i to te, przed którymi nie stoi minus.

Teraz sprawdzamy, czy człon nam się zgadza - powinien on wynosić :

Zgadza się, więc możemy skorzystać z naszego wzoru:

Zwróć uwagę, że w naszym wyrażeniu człony nie stoją w takiej kolejności, jak we wzorze. Jak już mówiłam, nie ma to znaczenia, bo dodawanie jest przemienne. Jeśli taka kolejność Ci przeszkadza, to możesz sobie te człony pozamieniać, pamiętaj tylko, by przesuwać je razem ze znakiem, który przed nim stoi.

OK, teraz przejdziemy do ostatniego wzoru - z nim będzie odrobinę trudniej.

___________________________________________________

Ostatni wzór wygląda tak:

W tym wzorze są same plusy, więc jest on najmniej charakterystyczny. Ale damy radę 🙂

Podzielimy sobie to na dwa przypadki. Zacznijmy od takiego przykładu:

Rozłóż na czynniki wyrażenie .

To jest przypadek, w którym mamy więcej niż jedną niewiadomą. Aby sprawdzić, czy wyrażenie pasuje nam do wzoru skróconego mnożenia zwracamy uwagę na to, czy wyrażenie ma trzy człony, czy ma dwa kwadraty (jeśli mamy dwie niewiadome, to te kwadraty zawsze będą widoczne) oraz czy człon bez kwadratu zawiera obie niewiadome.

U nas tak jest: mamy trzy człony, mamy dwa kwadraty ( oraz ), a trzeci człon zawiera obie niewiadome i ( ). No to próbujemy.

Człony z kwadratami to nasze i .

Teraz sprawdzamy, czy trzeci człon z naszego wyrażenia, czyli , pasuje do członu ze wzoru:

Zgadza się, więc możemy użyć wzoru.

Teraz przykład, w którym będziemy mieć jedną niewiadomą. A przy okazji: jeszcze inne polecenie 🙂

Wiedząc, że , zapisz wyrażenie w postaci kwadratu liczby całkowitej.

Po pierwsze, jak zawsze chcemy, by wyrażenie miało trzy człony. Tu mamy jedną niewiadomą, więc chcemy, by jeden człon miał tę niewiadomą w kwadracie ( ), drugi bez kwadratu ( ), a trzeci wcale nie miał niewiadomej i by dało się go zapisać w postaci kwadratu .

Najpierw znajdujemy nasze i :

Teraz sprawdzamy, czy człon nam się zgadza:

Zgadza się, więc możemy zastosować wzór:

___________________________________________________

Pamiętaj, że tu było o tyle łatwo, że od początku wiedziałeś, że można zastosować wzór skróconego mnożenia, oraz który to będzie wzór. Tymczasem na matematyce widzisz mnóstwo wyrażeń algebraicznych i Twoim zadaniem jest wychwycenie takich, które pasują do wzoru. Dlatego, jak mawiał śp. Alastor Moody:

Czy to jednak oznacza, że od teraz musisz lustrować każde wyrażenie algebraiczne? Nie. Kiedy więc należy zwracać na to uwagę? Po pierwsze, przy takich zadaniach, jakie Ci tu prezentowałam: przedstaw wyrażenie w postaci iloczynu/kwadratu, rozłóż wyrażenie na czynniki. Po drugie: w zadaniach dowodowych. Przydaje się to też przy równaniach kwadratowych, ale tam wzory skróconego mnożenia nie są koniecznością, po prostu przyspieszają rozwiązanie zadania.

Zdaję sobie sprawę z tego, że przedstawiłam Ci dziś dużo różnych reguł, ale nie chcę, żebyś się ich uczył na pamięć, bo tak naprawdę one wszystkie sprowadzają się do jednej: sprawdź, czy wyrażenie jest podobne do wzoru. Gdy to przećwiczysz, intuicyjnie będziesz wiedział, na co zwracać uwagę.

___________________________________________________

Proponuję Ci teraz takie ćwiczenie: wypisz sobie na kartce wzory skróconego mnożenia, a następnie (zerkając na kartkę) spróbuj wśród wyrażeń umieszczonych poniżej znaleźć takie, do których można zastosować wzory i skorzystaj z nich tam, gdzie to możliwe. Odpowiedzi poniżej. Jeśli cokolwiek jest niejasne, służę pomocą 🙂

  • - nie można: przy dwóch członach potrzebujemy jednego minusa
  • - nie można: mamy tu cztery człony
  • (poprawna jest również wersja )
  • (poprawna jest również wersja )
  • - nie można: człon się nie zgadza
  • - nie można: człon się nie zgadza
  • - nie można: człon się nie zgadza
  • - nie można: mamy tu cztery człony
  • - nie można: minus stoi nie tam, gdzie trzeba (żeby zastosować wzór, potrzebowalibyśmy takiego wyrażenia: )
  • (poprawna jest również wersja )
  • - nie można: mamy dwa minusy

*WYJAŚNIENIE

Mamy wyrażenie . Napisałam, że . Zgodnie z regułami sztuki w dalszej części powinno być: lub . Tak samo przy : skoro napisałam, że , to dalej powinno być lub . Teoretycznie więc powstają nam cztery przypadki do rozpatrzenia:

  • i
  • i
  • i
  • i

Natomiast jeśli sobie to wszystko rozpiszesz, to okaże się, że we wszystkich przypadkach wychodzi nam to samo, więc rozpatrywanie ich niczego nie wniesie, dlatego bierzemy pod uwagę tylko pierwszy przypadek.

Tak naprawdę nie jest równaniem do rozwiązania, tylko zapisem pomocniczym, który ma nam umożliwić przyporządkowanie kawałków wyrażenia do kawałków wzoru. Przy pomocy tego zapisu szukamy odpowiedniej kandydatury na . Tutaj znak "równa się" nie mówi nam: " jest równe ", tylko: "oznaczmy sobie, że to ". Ja wiem, że to jest nieco zagmatwane. Na studiach są na to dwa różne oznaczenia, natomiast tutaj niestety musimy sobie jakoś radzić bez nich 🙁

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorce


Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!