W pierwszej części omawialiśmy mnożenie potęg, dzielenie potęg oraz potęgowanie potęgi. Dziś pokażę Ci, jak te potęgi można dodawać i kiedy ta umiejętność się przydaje.
Wyobraź sobie, że mamy za zadanie wykonać takie działanie:
Jak byś się do tego zabrał? Najprawdopodobniej zacząłbyś od potęgowania, a następnie dodał do siebie otrzymane liczby.
A teraz wyobraź sobie, że masz do wykonania takie działanie:
Niby podobne, ale już nie zrobimy tak, jak poprzednio, bo policzenie, ile to jest zajęłoby nam raptem jakieś cztery lata. Właśnie takie przypadki będziemy dziś rozważać - gdy potęgi są duże i zwyczajnie nie opłaca się ich liczyć, bo życie ma się jedno i warto je spędzić na robieniu ciekawszych rzeczy.
Zacznijmy od takiego przykładu:
Wykonaj dodawanie:
Pierwsze, co robimy, to sprawdzamy, jakie mamy cechy wspólne dodawanych potęg. W tym przypadku mamy wspólne i podstawy (), i wykładniki () - jest to najmilszy wariant. Liczymy, ile jest tego .
powtarza się cztery razy. Teraz spójrz: jeśli mamy zapis
to możemy go zastąpić zapisem
i będzie on znaczył to samo. W ten sam sposób możemy postąpić w naszym przykładzie:
W ten sposób zapisaliśmy nasze działanie w prostszej postaci i pozbyliśmy się dodawania.
Teraz bardzo podobny przykład:
Wykonaj dodawanie:
Tak, jak poprzednio, mamy takie same podstawy oraz takie same wykładniki. No to liczymy, ile mamy tego .
powtarza się trzy razy, możemy więc nasze działanie zapisać tak:
W poprzednim przykładzie na tym skończyliśmy, natomiast tu możemy podziałać dalej. Zwróć uwagę, że liczba, która się pojawiła, jest taka sama, jak podstawa potęgi: . To znaczy, że tę trójkę z przodu możemy wchłonąć do naszej potęgi. Aby to zrobić, zapisujemy jako :
Jak być może pamiętasz, gdy mnożymy potęgi, to ich wykładniki się dodają (możesz o tym poczytać w pierwszej części). Czyli możemy zrobić tak:
To jest już najprostsza postać 🙂
Te same reguły możemy stosować w przypadku wyrażeń algebraicznych:
Zapisz w najprostszej postaci:
Zaczynamy od tego, że patrzymy, co jest wspólne. Tutaj zarówno podstawa , jak i wykładnik , są takie same. Liczymy więc, ile jest tego i zapisujemy:
_____________________________
No dobra, wiesz już, co robimy, gdy i podstawa, i wykładnik, są takie same. A co, jeśli nie?
Wykonaj dodawanie:
Tutaj mamy wspólną podstawę (), ale wykładniki są inne ( i ). Co w takiej sytuacji robimy? Będziemy dążyć do tego, by mieć takie same wykładniki, tak jak w poprzednich przykładach.
Wybieramy wykładnik, który jest najmniejszy (u nas ) i zapisujemy drugi wykładnik () jako "coś + " (czyli w tym wypadku ):
Po co to zrobiliśmy? Bo teraz możemy zapisać jako (przy mnożeniu potęg wykładniki się dodają).
to po prostu :
Dzięki temu pojawiły nam się takie same potęgi (). I teraz wracając do pomidorów: zapis
możemy zamienić na zapis
Tak samo tutaj:
Teraz trochę trudniejszy przykład, z trzema potęgami:
Wykonaj dodawanie:
Mamy taką samą podstawę (), ale różne wykładniki (, i ). Będziemy więc chcieli sprowadzić wszystkie potęgi do takiego samego wykładnika.
Wybieramy wykładnik, który jest najmniejszy (czyli ). Pozostałe dwa wykładniki chcemy zapisać jako "coś + ":
Teraz możemy te dwie potęgi rozbić:
Wykonujemy potęgowanie:
Mamy już takie same potęgi, możemy je więc potraktować jak pomidory 😉 Żeby nie pominąć w rachunkach samotnego , można je zapisać jako , wtedy liczba z przodu ułatwi nam liczenie:
________________________________
To były przykłady, w których wykładniki były różne, ale podstawy takie same. A co, jeśli różne są i podstawy, i wykładniki?
Zapisz w postaci jednej potęgi:
Tutaj i wykładniki, i podstawy są różne. W takiej sytuacji zastanawiamy się, czy możemy jakoś sprawić, by pojawiły nam się takie same podstawy. Możemy na przykład zapisać jako - w ten sposób uzyskamy wspólną podstawę .
Wykonujemy potęgowanie potęgi.
Jak widzisz, uzyskaliśmy nie tylko taką samą podstawę, ale też przy okazji taki sam wykładnik. Możemy więc wykonać dodawanie.
Inny przykład:
Zapisz w pistaci iloczynu:
Znowu mamy różne i podstawy, i wykładniki. Spróbujemy więc uzyskać takie same podstawy. Nie da się zapisać liczby jako do jakiejś potegi (tak jak w poprzednim przykładzie czwórkę jako potęgę dwójki), ale możemy obie liczby zapisać jako potęgę trójki: jako i jako .
Wykonujemy potęgowanie potęgi:
Uzyskaliśmy takie same podstawy. Aby dodać do siebie te liczby, musimy mieć jeszcze takie same wykładniki. Wybieramy więc mniejszy wykładnik () i drugi zapisujemy jako "coś + ".
Następnie zapisujemy jako - w ten sposób otrzymamy dwie takie same potęgi, które będziemy mogli dodać.
Wykonujemy dodawanie:
____________________________________
No dobrze, umiesz już dodawać potęgi we wszelkich możliwych wariantach, myślę więc, że to dobry moment, by zadać sobie bardzo ważne pytanie: po co? Po co zamieniać na , skoro to nam nie pomogło w obliczeniu, ile to jest?
Samo wykonanie takiego działania faktycznie nie ma większego sensu, ale gdy już to umiesz, możesz to wykorzystać do bardziej skomplikowanych obliczeń. Tak samo gdy robisz kurs na prawo jazdy, omijasz samochodem pomarańczowe pachołki - nie dotrzesz w ten sposób do żadnego "prawdziwego" celu, ale gdy już opanujesz tę umiejętność, to pomoże Ci ona dotrzeć do celu, gdy wyjedziesz na miasto w prawdziwym życiu.
No dobra, to czas zobaczyć, jak wygląda prawdziwe życie.
Oblicz:
Mamy dodawanie potęg, więc sprawdzamy, co jest wspólne. Podstawy takie same, wykładniki różne. Wybieramy więc najmniejszy wykładnik, czyli , i zapisujemy pozostałe jako "coś + ".
Teraz tworzymy sobie wszędzie taką samą potęgę.
Dodajemy potęgi:
Górę mamy już ładną. Na dole mamy , więc fajnie by było sobie to skrócić z piątką na górze. Aby to zrobić, zamienię na .
Wykonuję potęgowanie potęgi:
Teraz, żeby móc skrócić górę z dołem, znów wybieram mniejszy wykładnik (), a większy zapisuję jako "coś + ".
Teraz mogę skrócić .
W ten sposób obliczyliśmy wartość tego ułamka bez konieczności liczenia, ile to jest czy .
Dodawanie potęg przydaje się również przy zadaniach dowodowych, ale o tym może kiedy indziej 🙂
Zadanie dla Ciebie:
Wykonaj dodawanie:
Jeśli masz pytanie, zadaj je w komentarzu 🙂
PS: Jeśli zastanawiasz się, jak odejmować potęgi, to odpowiedź brzmi: dokładnie tak samo 🙂
- =
co jeśli podstawa dodawanych liczb jest różna, a potęga ta sama? np. x^-1 + (x-1)^-1
Tutaj już nie mamy jednego sposobu postępowania. W niektórych przypadkach możemy skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia – mamy na przykład wzór na a^3+b^3: a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2). Możesz sprawdzić, jakie wzory masz do dyspozycji np. w tablicach maturalnych: https://cke.gov.pl/images/_EGZAMIN_MATURALNY_OD_2015/Informatory/2015/MATURA_2015_Wybrane_wzory_matematyczne.pdf
Natomiast tam, gdzie ze wzoru nie da się skorzystać, musimy wykonać potęgowanie – czyli np. 2^4+3^4=16+81=97
W przedstawionym przez Ciebie przypadku mamy ujemny wykładnik potęgi, więc zaczęłabym od pozbycia się minusa: mamy na to wzór a^(-n)=1/(a^n)
x^-1 + (x-1)^-1=1/(x^1)+1/[(x-1)^1]=1/x+1/(x-1)
Możemy jeszcze ewentualnie sprowadzić te ułamki do wspólnego mianownika:
1/x+1/(x-1)=(x-1)/[x(x-1)]+x/[x(x-1)]=(x-1+x)/[x(x-1)]=(x-1+x)/[x(x-1)]=(2x-1)/[x(x-1)]
Generalnie jeśli spotkasz się w szkole z przypadkiem, o który pytasz, to raczej będą to takie liczby, że będzie się dało łatwo wykonać potęgowanie, ewentualnie właśnie skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia.