Działania na potęgach – część 1

Spis treści

• Mnożenie i dzielenie potęg - wzory i przykłady
• Potęgowanie potęgi - wzór i przykłady
• Przykładowe zadania z wykorzystaniem działań na potęgach

Na początku przypomnijmy sobie trzy pojęcia, których będę używać w tym wpisie bardzo często:

A teraz przechodzimy do części właściwej 🙂

Mnożenie i dzielenie potęg

Mnożyć i dzielić potęgi możemy w dwóch sytuacjach - gdy mamy takie same podstawy lub takie same wykładniki.

Takie same podstawy

Gdy mnożymy dwie potęgi i mają one takie same podstawy, to wykładniki tych potęg się dodają.

Przykłady:

Natomiast gdy dzielimy dwie potęgi o takich samych podstawach, to ich wykładniki się odejmują.

Przykłady:

Dzielenie możemy zapisać także w postaci ułamka:

Przykład:

Mnożenie i dzielenie potęg możemy też łączyć w jednym przykładzie:

Takie same wykładniki

Gdy mamy różne podstawy, ale takie same wykładniki, to możemy sobie "skleić" dwie potęgi w jedną. Przy mnożeniu potęg wygląda to tak:

Przykłady:

Natomiast przy dzieleniu tak:

Przykłady:

Tak jak poprzednio, dzielenie możemy przedstawić w formie ułamka:

Przykład:

Tak jak poprzednio, tu również mnożenie i dzielenie potęg możemy łączyć w jednym przykładzie:

Potęgowanie potęgi

Gdy chcemy jakąś potęgę podnieść do potęgi jeszcze raz, korzystamy z tego wzoru:

Przykład:

Przykładowe zadania z wykorzystaniem działań na potęgach

Najczęściej spotykamy się z trzema typami zadań: "oblicz", "doprowadź do najprostszej postaci" oraz "zapisz w postaci jednej potęgi" (może być też napisane, jakiej konkretnie, np. "zapisz w postaci potęgi liczby "). Natomiast generalnie zasada jest taka, że jeśli pojawiają się potęgi, które są duże i ich liczenie jest bez sensu, to trzeba skorzystać ze wzorów na działania na potęgach, nawet jeśli początkowo żaden wzór nam nie pasuje. No ale po kolei 🙂

Możemy zauważyć, że na górze mamy takie same wykładniki. Skorzystamy najpierw z tego wzoru:

Powstały nam takie same podstawy, możemy więc skorzystać z tego wzoru.

No a to po prostu 🙂

Tutaj mamy takie same podstawy. Zacznę od działań w nawiasach, a że są dwie pary nawiasów, to wybieramy te najbardziej w środku. Korzystamy ze wzoru na mnożenie potęg.

Teraz korzystamy ze wzoru na potęgowanie potęgi.

Udało nam się pozbyć jednego nawiasu, teraz wykonujemy działania wewnątrz drugiego. Korzystamy ze wzoru na dzielenie potęg.

Znowu mamy potęgowanie potęgi.

No a to już możemy łatwo obliczyć 🙂

Tu w podstawie zamiast liczby mamy , ale zasady są dokładnie te same 🙂 Tą dwójką, którą mamy z przodu, możemy się póki co zupełnie nie przejmować, skupiamy się na działaniach na -ach (możemy tak zrobić, bo mnożenie jest przemienne, więc równie dobrze moglibyśmy tę dwójkę postawić na końcu ułamka). Zaczynamy od nawiasów.

Teraz zajmę się wyrażeniem . Nie mamy nawiasów, więc nie stosujemy wzoru, tylko po prostu podnosimy trójkę do drugiej potęgi.

Teraz możemy się zająć mnożeniem i dzieleniem potęg. Najpierw góra.

Teraz dół. Zapiszemy sobie jako , bo potrzebujemy mieć wykładnik, żeby wykonać działania na potęgach.

Zostało nam ostatnie działanie do wykonania. Tu trzeba bardzo uważać, żeby nam się nie pomyliło z minusami.

To jest najprostsza postać 🙂

Jak widzisz, nie mamy ani takich samych podstaw, ani wykładników. Możemy jednak zauważyć, że wszystkie podstawy da się zapisać jako do jakiejś potęgi: to , to , a to .

Udało nam się uzyskać takie same podstawy, więc teraz wykonujemy działania na potęgach. Na górze mamy mnożenie potęg.

Teraz zajmiemy się dołem. Zaczniemy od pozbycia się nawiasów, a więc wykonamy potęgowanie potęgi.

Porządkujemy dalej dół, wykonując dzielenie potęg.

Zostało nam już tylko pozbycie się ułamka.

No i mamy 🙂

Na koniec zadanie maturalne, które bardzo fajnie pokazuje, jak działania na potęgach potrafią ułatwić życie.

No więc po pierwsze: nie liczymy tego! Próbujemy jakoś tak pokombinować, żeby otrzymać albo takie same podstawy, albo takie same wykładniki. Na takie same podstawy mamy niewielkie szanse, natomiast na takie same wykładniki jak najbardziej:

Skorzystaliśmy tutaj z tego wzoru:

Pozwolił on nam zapisać jako . Teraz użyjemy tego wzoru:

Przekształcamy dalej:

I teraz tak: to , czyli jeden i zer. Gdy pomnożymy to przez , otrzymamy , czyli pięć i zer - tak więc liczba ma cyfr.

Odpowiedź B.

Generalnie zasada w tego typu zadaniach jest prosta: patrzymy na wzory i szukamy takiego, który pasuje. Jeśli żaden nie pasuje, to zastanawiamy się, do którego jest najbliżej i staramy się jakoś tak pokombinować, żeby doprowadzić do postaci, którą mamy we wzorze.

W kontekście działań na potęgach posługujemy się trzema kluczowymi pojęciami:

Możemy mnożyć i dzielić potęgi, gdy mamy takie same podstawy lub takie same wykładniki.

Gdy mamy takie same podstawy, mnożenie i dzielenie potęg wygląda tak:

Przykład:

Przykład:

Przykład:

Gdy mamy takie same wykładniki, wzory na mnożenie i dzielenie potęg wyglądają tak:

Przykład:

Przykład:

Przykład:

Kolejnym działaniem jest potęgowanie potęgi:

Przykład:

Gdy nie mamy nawiasów, potęgujemy sam wykładnik.

Przykład: