Równania

Sprawdzanie, czy liczba spełnia równanie

Spis treści

  • Kiedy liczba spełnia równanie?
  • W jakich zadaniach sprawdzamy, czy liczba spełnia równanie?
  • Jak sprawdzić, czy liczba spełnia równanie?
  • Możliwe trudności i częste błędy

Kiedy liczba spełnia równanie?

Liczba spełnia równanie wtedy, gdy jest rozwiązaniem tego równania. Możemy to poznać po tym, że po wstawieniu tej liczby do równania w miejsce -a po obu stronach otrzymamy to samo.

Weźmy takie równanie:

To równanie jest spełnione przez liczbę . Dlaczego? Ponieważ gdy w miejsce -a wstawimy , to po obu stronach otrzymamy to samo.

Zdanie "pięć równa się pięć" jest prawdziwe - dlatego liczba spełnia to równanie.

Natomiast tego równania nie spełnia na przykład liczba , ponieważ jeśli wstawimy ją do równania, otrzymamy po obu stronach różne liczby.

To, co nam wyszło, nie jest prawdą, bo trzy nie jest równe cztery - dlatego liczba nie jest liczbą spełniającą to równanie.

W jakich zadaniach sprawdzamy, czy liczba spełnia równanie?

Polecenia mogą brzmieć różnie:

Sprawdź, czy liczba spełnia równanie .
Sprawdź, czy równanie jest prawdziwe dla liczby .
Sprawdź, czy liczba jest rozwiązaniem równania .
Sprawdź, czy liczba jest pierwiastkiem równania .

Wszystkie te polecenia znaczą dokładnie to samo 🙂

Możemy też dostać zadanie zamknięte, na przykład takie:

Rozwiązaniem równania jest liczba
A. B. C. D.

Jak sprawdzić, czy liczba spełnia równanie?

Jak już wspomniałam, żeby sprawdzić, czy liczba spełnia równanie, musimy po prostu podstawić tę liczbę w miejsce -a i sprawdzić, co otrzymamy. Jeśli wyjdzie nam coś, co ewidentnie jest nieprawdą (na przykład albo ) to znaczy, że ta liczba nie spełnia równania. Jeśli natomiast po obu stronach wyjdzie nam to samo (czyli na przykład albo , to znaczy, że dla tej liczby równanie jest prawdziwe. Przećwiczmy to w zadaniu.

Sprawdź, czy liczba spełnia równanie .

Wstawiamy dwójkę w miejsce -a.

Przy podstawianiu pamiętaj o tym, że między liczbą a -em nie piszemy znaku mnożenia, natomiast między dwiema liczbami już tak - dlatego mamy , ale .


Teraz wykonujemy działania, zgodnie z kolejnością wykonywania działań. Jest ona następująca:

  • działania w nawiasach
  • potęgowanie i pierwiastkowanie
  • mnożenie i dzielenie
  • dodawanie i odejmowanie
Oczywiście tam, gdzie te działania ze sobą nie kolidują, możemy je wykonywać jednocześnie, ale z uwagi na osoby, które się w tym gubią, będę to rozpisywać po kolei.

Najpierw wykonujemy działania w nawiasach.

Teraz potęgowanie.

Następnie mnożenie.

A na końcu dodawanie.

Wyszła nam oczywista bzdura, bo siedem nie jest równe dziesięć.

Odpowiedź: Liczba nie spełnia tego równania.

To ważne, by dać odpowiedź, tak by nauczyciel wiedział, że z tego, co Ci wyszło, został wyciągnięty odpowiedni wniosek.

W przypadku zadań zamkniętych po kolei podstawiamy liczby, aż trafimy na tę dobrą (chyba że mamy test wielokrotnego wyboru - wtedy musimy sprawdzić wszystkie odpowiedzi - no ale to zdarza się rzadko).

Możliwe trudności i częste błędy

Jak widzisz, sama zasada jest bardzo prosta. Wiele osób jednak wykonuje dobrze pierwszy krok, a potem ginie w rachunkach. Aby tak się nie stało, bardzo ważne jest, by cały czas pilnować kolejności wykonywania działań. W dalszej części pokażę Ci w sposób bardzo, bardzo łopatologiczny jak rozwiązywać trudniejsze rachunkowo przykłady.

Minus przed potęgą

Sprawdź, czy równanie jest prawdziwe dla liczby .

Zaczynamy od wstawienia liczby do równania:

Teraz wykonujemy działania. Zaczynamy od potęgowania.

Gdy potęgujemy ujemną liczbę, to jeśli potęga jest parzysta, minus znika, a jeśli potęga jest nieparzysta, minus zostaje, np.:
  • tu minus znika, bo mamy parzystą potęgę;
  • tu minus zostaje, bo mamy nieparzystą potęgę.
W tym miejscu należy jednak pamiętać o tym, że jeśli ujemna liczba nie jest w nawiasie, to potęga nie obejmuje minusa - dlatego:
  • tu minus znika, bo mamy parzystą potęgę;
  • tu minus zostaje, bo potęgujemy tylko liczbę - parzysta potęga nie obejmuje minusa, więc on nie znika.

U nas nie jest w nawiasie, więc żadna potęga nie obejmuje minusa.

Nie mamy nigdzie mnożenia ani dzielenia, więc następnym krokiem jest dodawanie i odejmowanie.

Wyszła nam nieprawda, więc:

Odpowiedź: To równanie nie jest prawdziwe dla liczby .

"Trudne" liczby

Zero

Sprawdź, czy liczba jest rozwiązaniem równania .

Zaczynamy od podstawienia liczby zero do równania.

Teraz wykonujemy działania. Tu dla przypomnienia:

  • zero do dowolnej potęgi to po prostu zero:
  • zero pomnożone przez dowolną liczbę to zero:

Najpierw potęgowanie.

Teraz mnożenie.

Na końcu odejmowanie.

Wyszła nam nieprawda, więc

Odpowiedź: Liczba nie jest rozwiązaniem tego równania.

Ułamki
Sprawdź, czy równanie jest prawdziwe dla liczby .

Jak zawsze zaczynamy od wstawienia liczb do równania. Co ważne, tam, gdzie jest podniesiony do potęgi, wstawiamy ułamek w nawiasach - gdyby tych nawiasów nie było, potęgowalibyśmy tylko górę ułamka.

Teraz wykonujemy działania. Zaczynamy od potęgowania.

Teraz wykonujemy mnożenie. Przy tej okazji możemy skracać tam, gdzie się da.

Na końcu wykonujemy dodawanie i odejmowanie. W tym miejscu możemy zauważyć, że i nam się zredukują.

Dodajemy to, co zostało.

Teraz chcemy porównać ułamki, aby sprawdzić, czy po obu stronach mamy to samo. Aby było to możliwe, potrzebujemy wspólnego mianownika oraz takiej samej formy ułamka. Zacznę od tego, że ułamek po prawej stronie przekształcę do ułamka zwykłego.

Możemy zauważyć, że ten ułamek da się skrócić przez .

Po obu stronach wyszło nam to samo.

Odpowiedź: To równanie jest prawdziwe dla liczby .

Sprawdź, czy liczba jest rozwiązaniem równania .

Większość działań na ułamkach najłatwiej wykonuje się, gdy ułamek jest w formie ułamka zwykłego. Dlatego zanim wstawimy nasz ułamek do równania, zmienimy jego formę z liczby mieszanej na ułamek zwykły.

Wstawiamy w miejsce -a. Pamiętamy o tym, że jeśli jest podniesiony do potęgi, ułamek wstawiamy w nawiasach.

Zaczynamy od potęgowania.

Teraz mnożenie. Przy tej okazji możemy poskracać ułamki tam, gdzie to możliwe.

Na końcu odejmowanie. Aby je wykonać, potrzebujemy wspólnego mianownika. Będzie nim .

Wykonujemy odejmowanie.

Otrzymaliśmy po obu stronach to samo, zatem:

Odpowiedź: Liczba jest rozwiązaniem tego równania.

Sprawdź, czy liczba jest pierwiastkiem równania .

Podobnie jak w poprzednim zadaniu, zaczniemy od przekształcenia ułamka do formy ułamka zwykłego.

Wstawiamy do równania. Tam, gdzie przy -ie stoi potęga, wstawiamy ułamek w nawiasach.

Zaczynamy od wykonania działania w nawiasach. W tym celu zapiszę jako .

Teraz potęgowanie.

Następnie mnożenie.

Teraz dodawanie. Zacznę od sprowadzenia ułamków do wspólnego mianownika, którym będzie .

Dodajemy ułamki.

Możemy zauważyć, że liczba po lewej stronie jest ujemna, a po prawej dodatnia, więc na pewno nie są sobie równe.

Odpowiedź: Liczba nie jest pierwiastkiem tego równania.

Pierwiastki

Sprawdź, czy liczba jest rozwiązaniem równania .

Zaczynamy od wstawienia do równiania. Tam, gdzie jest podniesiony do potęgi, pierwiastek wstawiamy w nawiasach.

Zgodnie z kolejnością wykonywania działań, powinniśmy teraz wykonać działania w nawiasie. Problem polega na tym, że nie możemy dodać do siebie liczb i , dlatego musimy posłużyć się wzorem skróconego mnożenia.

Teraz potęgowanie. Będziemy korzystać z tego, że .

Następnie mnożenie.

Na końcu mamy dodawanie. Pamiętamy przy tym, że osobno dodajemy pierwiastki, a osobno resztę - dlatego po lewej stronie nic nie możemy dodać.

Wyszło nam co innego, dlatego

Odpowiedź: Liczba nie jest rozwiązaniem tego równania.

Sprawdź, czy liczba jest rozwiązaniem równania .

Zaczynamy od podstawienia. Tu również używamy nawiasów tam, gdzie jest w potędze (obejmujemy nimi całą liczbę, którą sprawdzamy, nie tylko pierwiastek).

Wykonujemy potęgowanie.

Teraz mnożenie.

Na końcu dodawanie i odejmowanie. Możemy tu zauważyć, że wszystko nam się zredukuje.

Mamy po obu stronach tę samą liczbę.

Odpowiedź: Liczba jest rozwiązaniem tego równania.

Liczby ujemne

Sprawdź, czy liczba jest rozwiązaniem równania .

Tu w równaniu nie mamy -a, tylko , jednak zasada działania jest dokładnie taka sama. Niewiadoma w równaniu może być oznaczona dowolną literą, choć przyjęło się, że najczęściej jest to .

Jak zawsze zaczynamy od podstawienia liczby do równania. Tu pamiętamy o tym, że ujemne liczby zawsze wstawiamy do równania w nawiasach (w przeciwnym razie potęga nie obejmie minusa).

Teraz wykonujemy działania. Zwłaszcza przy ujemnych liczbach bardzo ważne jest trzymanie się kolejności wykonywania działań. Najpierw potęgowanie. Pamiętamy o tym, że przy parzystej potędze minus znika, a przy nieparzystej zostaje.

Teraz wykonujemy mnożenie.

Na końcu dodawanie i odejmowanie. Zanim jednak do niego przejdziemy, opuścimy nawiasy.

Teraz wykonujemy działania.

Otrzymaliśmy po obu stronach to samo.

Odpowiedź: Liczba spełnia to równanie.

Podchwytliwa treść zadania

Na koniec klasyk, czyli zadanie zamknięte o następującej treści:

Rozwiązaniem równania nie jest liczba
A. B. C. D.

Czyli poprawną odpowiedzią jest ta liczba, która nie spełnia równania, zatem sprawdzając liczby szukamy takiej, dla której po obu stronach wyjdą nam różne liczby. Spróbuj zrobić to zadanie samodzielnie 🙂

Odpowiedź

W przykładzie A otrzymamy .

W przykładzie B otrzymamy .

W przykładzie C otrzymamy .

W przykładzie D otrzymamy .

Poprawna jest zatem odpowiedź D, ponieważ szukaliśmy liczby, która nie jest rozwiązaniem równania.

Chcę zaznaczyć, że otrzymasz takie liczby przy założeniu, że będziesz rozwiązywać to zadanie sposobem, który pokazałam w tym wpisie. Jeśli będziesz je robić inaczej, to liczby też mogą wyjść inne i to jest OK. Ważne jest to, by w przykładach A, B i C po obu stronach wyszły takie same liczby, a w przykładzie D dwie różne 🙂


Jeśli chodzi o to, od której liczby zacząć, to można oczywiście iść po kolei, ale ja jestem zwolenniczką systemu polegającego na tym, że zaczynamy od tej odpowiedzi, dla której mamy najłatwiejsze rachunki (np. od jedynki), a trudniejsze przykłady (np. z liczbami ujemnymi) zastawiamy na koniec licząc na to, że nie będziemy musieli ich robić, bo wcześniej znajdziemy dobrą odpowiedź.

PODSUMOWANIE

Aby sprawdzić, czy liczba spełnia równanie, podstawiamy ją w miejsce -a (lub innej litery, którą oznaczona jest niewiadoma).

Przykład: Aby sprawdzić, czy liczba spełnia równanie , podstawiamy w miejsce -a.

Jeśli po wykonaniu działań po obu stronach otrzymy to samo, to liczba spełnia równanie, w przeciwnym wypadku - nie spełnia.

Przykład: Liczba spełnia równanie , ponieważ po wykonaniu działań otrzymujemy .

Polecenie może brzmieć:

  • "Sprawdź, czy liczba ... jest rozwiązaniem/pierwiastkiem równania ...",
  • "Sprawdź, czy liczba ... spełnia równanie ...",
  • "Sprawdź, czy równanie ... jest prawdziwe dla liczby ...".