Rozwiązywanie równań liniowych

Spis treści

• Co to jest równanie liniowe?
• Co to znaczy rozwiązać równanie?
• Ogólne zasady rozwiązywania równań
• Równania z nawiasami
• Równania z ułamkami
• Równania z pierwiastkami

Co to jest równanie liniowe?

Równania liniowe (lub inaczej równania pierwszego stopnia) to równania, które mają (lub inną niewiadomą) w pierwszej potędze. To są te równania, które jako pierwsze poznajemy w szkole, te najprostsze, bez żadnych udziwnień.

Tu możesz zobaczyć przykłady równań liniowych:

Natomiast to nie są równania liniowe:

Zwróć uwagę na ostatni przykład równania liniowego i nieliniowego. W obu mamy ułamek - dlaczego więc jedno jest liniowe, a drugie nie? Równanie jest liniowe, gdy niewiadomą mamy tylko w liczniku (czyli na górze). Gdy niewiadoma jest na dole (czyli w mianowniku), to jest to równanie wymierne.

Równania, które będę dziś omawiać, to równania z jedną niewiadomą (czyli rówania, w których mamy tylko jedną literę).

Co to znaczy rozwiązać równanie?

Rozwiązać równanie to znaczy znaleźć wszystkie liczby, które spełniają to równanie - czyli takie liczby, które po wstawieniu do równania w miejsce -a "będą pasować". Weźmy na przykład takie równanie:

Żeby to się zgadzało, w miejsce -a musimy wstawić liczbę , bo da nam . Zatem rozwiązaniem (inaczej pierwiastkiem) tego równania jest liczba , a my znajdując tę liczbę rozwiązaliśmy równanie.

To równanie było na tyle proste, że mogliśmy zgadnąć, jaka liczba będzie pasować. Jednak w przypadku trudniejszych równań (a zazwyczaj spotykamy jednak te trudniejsze) zgadnięcie odpowiedniej liczby może być trudne - dlatego mamy szereg różnych reguł, które pozwalają nam przekształcić równanie. Naszym celem jest przekształcić je do postaci " liczba" - wtedy możemy powiedzieć, że rozwiązaliśmy równanie.

Ogólne zasady rozwiązywania równań

Najprostsze możliwe równanie, jakie tylko istnieje, to np. . Albo . Z nim już nic nie musimy robić, bo jest ono jednocześnie rozwiązaniem. Oczko trudniejsze jest równanie typu - przy -ie stoi liczba. Aby rozwiązać takie równanie, należy podzielić je obustronnie przez to, co przy tym -ie stoi (w naszym wypadku przez ):

Po lewej stronie zostanie nam sam , natomiast po prawej ułamek:

Ułamek możemy sobie skrócić:

Krok dalej są równania, które trzeba porządkować, np. takie: . Wtedy -y przerzucamy na jedną stronę (zazwyczaj lewą), a liczby na drugą (zazwyczaj prawą). Robimy to zawsze ze zmianą znaku - jeśli po prawej stronie mieliśmy na przykład , to po przerzuceniu na lewą stronę będziemy mieli .

Przerzucamy na lewą stronę, a na prawą:

Porządkujemy równanie:

Dzielimy obustronnie przez to, co stoi przy -ie, czyli przez :

Skracamy:

Jeśli trafi nam się taki przypadek, że po jednej stronie mamy , a po drugiej liczbę, możemy po obu stronach zmienić znaki:

Po prostu pomnożyłam obustronnie przez . Pamiętajmy, że równanie jest rozwiązane, gdy doprowadzimy je do postaci liczba, a nie liczba - wiele osób w takiej właśnie formie je zostawia, a jest to błąd.

No dobra, te podstawowe przypadki mamy za sobą, teraz przejdziemy do tych bardziej skomplikowanych: z nawiasami, ułamkami i pierwiastkami.

Równania z nawiasami

Jeśli w równaniu pojawiają się nawiasy, to zazwyczaj najlepiej jest się ich pozbyć, zanim będziemy dalej rozwiązywać równanie. Zajmiemy się czterema przypadkami. Pierwszy: mamy nawias, a przed nim minus:

W takiej sytuacji pozbywamy się nawiasów zamieniając znaki wszystkich członów w nawiasie:

Teraz możemy poprzerzucać -y na jedną stronę, a liczby na drugą:

Porządkujemy równanie:

Dzielimy obustronnie przez to, co stoi przy -ie:

Skracamy:

Drugi przypadek: mamy dodawanie lub odejmowanie ujemnej liczby:

W tej sytuacji pozbycie się nawiasów jest bardzo proste: to to samo, co . Natomiast to to samo, co .

Dalej rozwiązuję równanie tak, jak zwykle:

Trzeci przypadek: mamy nawias, a przed nim liczbę:

W takiej sytuacji wymnażam wszystkie człony, które są w nawiasie, przez liczbę stojącą przed nawiasem. U nas jest to po lewej stronie i (nie !) po prawej:

Dalej rozwiązuję tak, jak zwykle:

Czwarty przypadek jest taki, że mamy dwa nawiasy pomnożone przez siebie:

W takiej sytuacji pozbywamy się ich, wymnażając każdy człon z pierwszego nawiasu z każdym członem z drugiego nawiasu (pamiętajmy przy tym o znakach!):

Jak widzisz, w tym równaniu pojawiły się nam pierwiastki. O tym, jak sobie z nimi poradzić, opowiem nieco dalej, a póki co zostawmy to równanie 🙂

Może się zdarzyć tak, że przed dwoma nawiasami dodatkowo będzie liczba:

W takiej sytuacji najpierw wymnażamy zawartość pierwszego nawiasu przez liczbę, a następnie pierwszy nawias wymnażamy przez drugi:

Sytuacja wygląda podobnie, gdy przed nawiasami znajduje się minus:

Najpierw "wciągam" minus do pierwszego nawiasu, zmieniając w nim znaki:

Teraz wymnażam przez siebie nawiasy:

Równania z ułamkami

Zasada przy ułamkach jest bardzo prosta: chcemy się ich pozbyć 😀 Aby to zrobić, wystarczy pomnożyć obustronnie równanie przez wspólny mianownik wszystkich ułamków, które się w nim znajdują. Pokażę Ci to na dwóch przykładach. Pierwszy:

Mamy tylko jeden ułamek, więc mnożymy przez jego mianownik - czyli przez :

Dzięki temu po lewej stronie trójki nam się skrócą:

Po lewej stronie zostanie nam po prostu :

Teraz trochę bardziej skomplikowany przykład:

Mnożymy obustronnie przez wspólny mianownik wszystkich ułamków. Wspólnym mianownikiem dla liczb i jest .

Teraz możemy sobie poskracać i w ten sposób pozbyć się ułamków:

Zwróć uwagę, że po usunięciu ułamków liczniki umieściłam w nawiasach (o ile był w nich więcej niż jeden człon). Teraz pozbywam się nawiasów:

Dalej rozwiązuję tak, jak zawsze:

Jeśli mamy równanie, w którym po jednej i drugiej stronie występuje jeden ułamek i nic więcej, to możemy zastosować tak zwane mnożenie na skos.

Schemat jest następujący: lewa góra razy prawy dół równa się prawa góra razy lewy dół:

Teraz pozbywamy się nawiasów wymnażając je przez liczbę:

Dalej rozwiązujemy jak zwykle:

Zauważ, że i w przypadku nawiasów, i ułamków, chodzi o to, by się ich jak najszybciej pozbyć. Dzięki temu otrzymujemy równanie w postaci, którą znamy jeszcze ze szkoły podstawowej.

Równania z pierwiastkami

Gdy pierwiastki nie występują przy -ie, to nie musimy się nimi specjalnie przejmować - po prostu wynik będzie z pierwiastkiem i tyle. Należy przy tym pamiętać, że liczby całkowitej i pierwiastka nie można do siebie dodać (o działaniach na pierwiastkach możesz poczytać tutaj). Weźmy na przykład takie równanie:

Tak jak zwykle, liczby przerzucam na jedną stronę, a -y na drugą:

Porządkujemy równanie pamiętając przy tym, że liczby całkowite dodajemy osobno, a pierwiastki osobno:

Dzielę obustronnie przez to, co stoi przy -ie:

Wynik wygląda wstrętnie, ale jest jak najbardziej poprawny.

Gdy mamy przy -ie pierwiastki i tylko pierwiastki (i są one takie same), to zasada działania wciąż jest taka sama.

Przerzucam liczby na jedną stronę, a -y na drugą:

Po lewej stronie mamy takie same pierwiastki, zatem możemy wykonać odejmowanie:

Po prawej stronie dodajemy do siebie liczby całkowite, natomiast nie możemy do nich dodać pierwiastka:

Teraz, jak zwykle, dzielę przez to, co stoi przy -ie, czyli przez :

Jak widzisz, do tej pory schemat rozwiązania był dokładnie taki sam, jak przy tradycyjnym równaniu, pomimo plączących się pierwiastków. Sprawa się komplikuje, gdy przy -ie stoją i pierwiastki, i liczby całkowite, jak tutaj:

Najpierw robię tak jak zwykle, czyli -y przerzucam na jedną stronę, a liczby na drugą:

Po prawej stronie możemy wykonać odejmowanie, natomiast po lewej już nie, bo mamy i liczbę całkowitą, i pierwiastek. W takiej sytuacji wyłączam przed nawias:

Następnie dzielę przez to, co stoi przy -ie, czyli przez :

No i to tyle 🙂