Usuwanie niewymierności z mianownika

Na początku chciałabym zaznaczyć jedną rzecz: usuwanie niewymierności (czyli pierwiastka) z mianownika najprawdopodobniej nie przyda Ci się do rozwiązania zadania (no chyba że zadanie będzie brzmiało "usuń niewymierność z mianownika"). Może się natomiast zdarzyć tak, że Twoje rozwiązanie jest inne, niż te w odpowiedziach - w tym momencie usunięcie niewymierności z mianownika bardzo często załatwia sprawę 🙂 A z takich bardziej prozaicznych spraw - duża część nauczycieli wymaga, by wynik nie miał pierwiastka w mianowniku. Warto więc opanować tę umiejętność.

Jeśli w mianowniku mamy po prostu pierwiastek, to schemat postępowania jest łatwy do ogarnięcia. Weźmy na przykład taką liczbę: . Aby usunąć pierwiastek z mianownika, mnożymy tę liczbę przez - czyli po prostu przez :

Dlaczego tak zrobiliśmy? Aby to zobaczyć, zamienię sobie teraz iloczyn tych dwóch ułamków w jeden ułamek:

Na górze mamy . Znak mnożenia możemy pominąć, poza tym nic więcej nie zrobimy. Natomiast na dole mamy , czyli . Jak zapewne pamiętasz, jest to po prostu (możesz poczytać na ten temat tutaj). Wstawiam to do naszego wyrażenia:

Tym sposobem pozbyliśmy się pierwiastka z mianownika. Jest to cały czas taka sama liczba, jak na początku, tylko zapisana w innej formie.

Weźmy teraz . Aby usunąć pierwiastek z mianownika, mnożymy ułamek przez (bierzemy sam pierwiastek, a nie cały mianownik):

Wymnażamy przez siebie ułamki:

Korzystam teraz z faktu, że :

Mogę sobie poskracać:

W ten sposób pozbyliśmy się pierwiastka z mianownika.

Może się zdarzyć taka sytuacja, że pierwiastek będzie i w liczniku, i w mianowniku - co wtedy? Jeśli chcemy usunąć niewymierność z mianownika, to domnażamy ten pierwiastek, który jest w mianowniku - tak jak tutaj:

A co, jeśli w mianowniku mamy pierwiastek trzeciego stopnia? Wtedy ułamek z pierwiastkami musimu domnożyć dwa razy. Dlaczego? Ponieważ aby pozbyć się pierwiastka trzeciego stopnia, musimy go podnieść do trzeciej potęgi (a nie do drugiej, jak w poprzednich przykładach). Weźmy na przykład . Dwa razy domnożymy ułamek :

Dzięki temu na dole otrzymamy , a to jest równe :

Możemy poskracać:

=

Jeszcze raz powtórzę - to, co tu robimy, najpewniej nie pomoże Ci rozwiązać zadania. Pomoże Ci, gdy Twoje rozwiązanie jest inne, niż w odpowiedziach. Wtedy możesz przekształcić swoje rozwiązanie do innej formy właśnie wyciągając pierwiastek z mianownika.

Na dziś to wszystko 🙂