Logarytmy

Działania na logarytmach

Spis treści

  • Dodawanie logarytmów
  • Odejmowanie logarytmów
  • Mnożenie logarytmu przez liczbę
  • Kilka trudniejszych przypadków

Dodawanie logarytmów

Wyobraź sobie, że mamy do wykonania takie działanie:

\(\log_28+\log_39\)

W takim wypadku musimy najpierw obliczyć każdy z logarytmów, a następnie dodać do siebie ich wyniki.

\(\class{bu3}{\log_28=3,}\) ponieważ \(\ 2^3=8\)

\(\class{bu1}{\log_39=2,}\) ponieważ \(\ 3^2=9\)

Obliczanie logarytmów bardzo szczegółowo omówiłam w osobnym wpisie.

\(\log_28\)\(+\) \(\log_39\)\(=\) \(3\)\(+\) \(2\)\(=5\)

Taką procedurę stosujemy wtedy, gdy dodawane przez nas logarytmy mają różne podstawy - tak było w tym przypadku:

\(\log_{\class{tc6}{2}}8+\log_{\class{tc4}{3}}9\)

Jeśli jednak mamy dwa logarytmy o takich samych podstawach, na przykład \(\log_{\class{tc6}{2}}8+\log_{\class{tc6}{2}}4\), to mamy możliwość skorzystania ze wzoru, który ułatwi nam życie. Wygląda on tak:

\(\log_ax+\log_ay\text{ }\)\(=\log_a(x\cdot y)\)

Spójrz na przykłady:

\(\log_{\class{tc6}{a}}\class{tc3}{x}+\log_{\class{tc6}{a}}\class{tc4}{y}=\log_{\class{tc6}{a}}(\class{tc3}{x}\cdot \class{tc4}{y})\)

  • \(\log_{\class{tc6}{8}}\class{tc3}{4}+ \log_{\class{tc6}{8}}\class{tc4}{16}= \log_{\class{tc6}{8}}(\class{tc3}{4}\cdot \class{tc4}{16})=\) \(\log_864\)
  • \(\log_{\class{tc6}{6}}\class{tc3}{3}+ \log_{\class{tc6}{6}}\class{tc4}{12}= \log_{\class{tc6}{6}}(\class{tc3}{3}\cdot \class{tc4}{12})=\) \(\log_636\)

Dzięki skorzystaniu tego wzoru mamy do obliczenia jeden logarytm zamiast dwóch (dodatkowo czasami są takie przypadki, że dwóch dodawanych logarytmów nie da się obliczyć osobno, a jedynie po użyciu tego wzoru).

Pokazany tu wzór mówi nam, że jeśli dodajemy dwa logarytmy, to możemy pomnożyć ich "środki", np:
\(\log_612+\log_63=\log_6(12\cdot 3)\)
Niestety sporo osób stosuje go także odwrotnie, to znaczy sądzi, że gdy mamy mnożenie dwóch logarytmów, to możemy dodać ich "środki", np:
\(\log_612\cdot\log_63=\log_6(12+ 3)\)
Jest to oczywiście błąd!

Przejdźmy teraz krok po kroku przez przykładowe zadanie.

Oblicz \(\log 25 + \log 4\).

Podane tu logarytmy nie mają podstaw, a to oznacza, że tak naprawdę mają podstawę równą \(10\) - dopiszmy ją:

\(\log 25 + \log 4=\log_{\class{tc6}{10}}25 + \log_{\class{tc6}{10}}4\)

Mamy takie same podstawy, możemy więc skorzystać ze wzoru:

\(\log_{\class{tc6}{a}}\class{tc3}{x}+\log_{\class{tc6}{a}}\class{tc4}{y}=\log_{\class{tc6}{a}}(\class{tc3}{x}\cdot \class{tc4}{y})\)

\(\log_{\class{tc6}{10}}\class{tc3}{25} + \log_{\class{tc6}{10}}\class{tc4}{4}= \log_{\class{tc6}{10}}(\class{tc3}{25}\cdot \class{tc4}{4})\)

Wykonujemy mnożenie.

\(\log_{10}(25\cdot 4)=\log_{10}100\)

Gdy mamy już jeden logarytm, możemy się zabrać za jego obliczenie. Najpierw zamienię logarytm na potęgowanie, korzystając z definicji logarytmu:

\(\log_ac = b \text{ wtedy i tylko wtedy, }\)\(\text{gdy } a^b=c\)

\(\log_{10} 100 = x\)

\(10^x=100\)

Teraz po obu stronach chcemy mieć potęgi o takich samych podstawach, dlatego zamienię \(100\) na \(10^2\).

\(10^x = \)\(100\)

\(10^x = \)\(10^2\)

Mamy takie same podstawy, możemy więc przyrównać wykładniki:

\(10^{\class{tc6}{x}}=10^{\class{tc6}{2}}\)

\(x=2\)

A ponieważ przez \(x\) oznaczyliśmy sobie wynik logarytmu, to

\(\underline{\log_{10}100=2}\)

Jeśli sposób obliczania logarytmu był dla Ciebie niezrozumiały, zajrzyj do tego wpisu - tam jest omówiony bardzo szczegółowo.

Odejmowanie logarytmów

Dokładnie tak samo jest z odejmowaniem logarytmów: jeśli logarytmy mają takie same podstawy, to mamy na nie wzór:

\(\log_ax-\log_ay=\) \(\log_a\large\frac{x}{y}\)

Na przykład:

\(\log_{\class{tc6}{a}}\class{tc3}{x}- \log_{\class{tc6}{a}}\class{tc4}{y}=\log_{\class{tc6}{a}} \large\frac{\class{tc3}{x}}{\class{tc4}{y}}\)

  • \(\log_{\class{tc6}{5}}\class{tc3}{15}- \log_{\class{tc6}{5}}\class{tc4}{3}=\log_{\class{tc6}{5}} \large\frac{\class{tc3}{15}}{\class{tc4}{3}}\)\(=\log_5 \large\frac{\cancel{15}^5}{\cancel{3}^1}\)\(=\log_5\large\frac{5}{1}\) \(=\log_55\)
  • \(\log_{\class{tc6}{3}}\class{tc3}{18}- \log_{\class{tc6}{3}}\class{tc4}{2}=\log_{\class{tc6}{3}} \large\frac{\class{tc3}{18}}{\class{tc4}{2}}\)\(=\log_3 \large\frac{\cancel{18}^9}{\cancel{2}^1}\)\(=\log_3\large\frac{9}{1}\) \(=\log_39\)

Podobnie, jak poprzednio, tu też możemy przez pomyłkę zastosować wzór odwrotnie. Dlatego pamiętaj - tak jest dobrze:
\(\log_612-\log_63=\log_6\large\frac{12}{3}\)
a tak niedobrze:
\(\large\frac{\log_612}{\log_63}=\)\(\log_6(12- 3)\)

To teraz przejdźmy przez przykładowe zadanie.

Oblicz \(\log_354-\log_32\).

Mamy odejmowanie dwóch logarytmów, które mają tę samą podstawę. Możemy więc zastosować nasz wzór:

\(\log_{\class{tc6}{a}}\class{tc3}{x}- \log_{\class{tc6}{a}}\class{tc4}{y}=\log_{\class{tc6}{a}} \large\frac{\class{tc3}{x}}{\class{tc4}{y}}\)

\(\log_{\class{tc6}{3}}\class{tc3}{54}- \log_{\class{tc6}{3}}\class{tc4}{2}=\log_{\class{tc6}{3}} \large\frac{\class{tc3}{54}}{\class{tc4}{2}}=\) \(\log_3\large\frac{\cancel{54}^{27}}{\cancel{2}^1}=\) \(\log_3\large\frac{27}{1}=\)\(\text{ }\log_327\)

OK, mamy jeden logarytm zamiast dwóch, jego wynik oznaczmy sobie jako \(x\).

\(\log_327=x\)

Następnie zamieniamy logarytm na potęgowanie.

\(\log_ac = b \text{ wtedy i tylko wtedy, }\)\(\text{gdy } a^b=c\)

\(3^x=27\)

Chcemy mieć takie same podstawy potęg po obu stronach, dlatego zamienię \(27\) na \(3^3\).

\(3^x = \)\(27\)

\(3^x = \)\(3^3\)

Mamy takie same podstawy, możemy więc przyrównać wykładniki.

\(3^{\class{tc1}{x}}=3^{\class{tc1}{3}}\)

\(x=3\)

A ponieważ \(x\) to wynik naszego logarytmu, to

\(\underline{\log_327=3}\)

Mnożenie logarytmu przez liczbę

Ostatni wzór dotyczy sytuacji, gdy przed logarytmem stoi liczba, np. mamy \(\class{tc6}{2}\log_34\). Wygląda on tak:

\(r\log_ax=\log_ax^r\)

Ten wzór mówi nam, że jeśli przed logarytmem stoi liczba, to możemy ją "wciągnąć" do środka logarytmu. Na przykład:

\(\class{tc1}{r}\log_ax= \log_ax^{\class{tc1}{r}}\)
  • \(\class{tc1}{2}\log_48= \log_48^{\class{tc1}{2}}=\log_464\)
  • \(\class{tc1}{3}\log_510= \log_510^{\class{tc1}{3}}=\log_51000\)

Ten wzór sam w sobie tak naprawdę nie jest potrzebny, natomiast bywa bardzo pomocny w połączeniu z poprzednimi dwoma, na dodawanie i odejmowanie logarytmów. Pokażę Ci to na przykładzie.

Oblicz \(2\log_510-\log_54\).

Mamy odejmowanie logarytmów. Logarytmy mają tę samą podstawę. No aż prosi się, by zastosować wzór na odejmowanie logarytmów. Jest tylko jeden problem. Porównaj sobie to, co mamy obliczyć, ze wzorem.

\(\log_ax-\log_ay=\) \(\log_a\large\frac{x}{y}\)

\(2\log_510-\log_54\)

Ten wzór nie przewiduje scenariusza, w którym przed logarytmem stoi liczba. Dlatego najpierw musimy się tej dwójki pozbyć, a do tego idealnie nada się trzeci wzór.

\(\class{tc1}{r}\log_ax= \log_ax^{\class{tc1}{r}}\)

\(\class{tc1}{2}\log_510-\log_54=\)\(\text{ }\log_510^{\class{tc1}{2}}-\log_54=\) \(\log_5100-\log_54\)

Teraz możemy zastosować wzór na odejmowanie logarytmów:

\(\log_{\class{tc6}{a}}\class{tc3}{x}- \log_{\class{tc6}{a}}\class{tc4}{y}=\log_{\class{tc6}{a}} \large\frac{\class{tc3}{x}}{\class{tc4}{y}}\)

\(\log_{\class{tc6}{5}}\class{tc3}{100}- \log_{\class{tc6}{5}}\class{tc4}{4}=\log_{\class{tc6}{5}} \large\frac{\class{tc3}{100}}{\class{tc4}{4}}\) \(=\log_5\large\frac{\cancel{100}^{25}}{\cancel{4}^1}\) \(=\log_5\large\frac{25}{1}\)\(=\log_525\)

Mamy już tylko jeden logarytm, teraz wystarczy go obliczyć. Najpierw zamienimy logarytm na potęgowanie.

\(\log_ac = b \text{ wtedy i tylko wtedy, }\)\(\text{gdy } a^b=c\)

\(\log_525=x\)

\(5^x=25\)

Zamieniamy \(25\) na \(5^2\) i przyrównujemy wykładniki.

\(5^x=5^2\)

\(x=2\)

Przez \(x\) oznaczyliśmy wynik logarytmu, więc

\(\underline{\log_525=2}\)

Kilka trudniejszych przypadków

Jak w każdym możliwym temacie, tak i tutaj mogą pojawić się różne haczyki. Po pierwsze: mamy wzory na dodawanie lub odejmowanie dwóch logarytmów. A co jeśli logarytmów jest więcej? Na przykład tutaj:

Oblicz \(\log_63+\log_610-\log_65\).

W tej sytuacji musimy po prostu zastosować wzór dwa razy. Zaczniemy od pozbycia się sumy.

\(\log_63+\log_610\)\(-\log_65\)

Potrzebujemy tego wzoru:

\(\log_ax+\log_ay=\)\(\text{ }\log_a(x\cdot y)\)

\(\log_63+\log_610-\log_65=\) \(\log_6(3\cdot 10)-\log_65=\) \(\log_630-\log_65\)

Teraz mamy już tylko dwa logarytmy. Stosujemy drugi wzór.

\(\log_ax-\log_ay=\) \(\log_a\large\frac{x}{y}\)

\(\log_630-\log_65=\log_6\large\frac{30}{5}\) \(=\log_6\large\frac{\cancel{30}^6}{\cancel{5}^1}\) \(=\log_6\large\frac{6}{1}\)\(=\log_66\)

Na taki logarytm mamy gotowy wzór. O tym, skąd się wziął, możesz poczytać tutaj.

\(\log_aa=1\)

\(\underline{\log_66=1}\)

Wielu osobom sprawia problem również taki przypadek:

Oblicz \(-\log_32+\log_354\).

Niby mamy dodawanie logarytmów, bo między nimi stoi plus, ale przed pierwszym logarytmem stoi minus, więc w sumie to nie wiadomo. W takiej sytuacji stosujemy bardzo prosty zabieg: zamieniamy logarytmy miejscami, ale uwaga: razem z przyczepionymi do nich znakami.

\(\class{bu3}{-\log_32}\ \class{bu4}{+\log_354}=\) \(\class{bu4}{+\log_354}\ \class{bu3}{-\log_32}\)

Plus z przodu możemy pominąć (tak samo jak go pomijamy mówiąc, że mamy dwa jabłka, a nie plus dwa jabłka).

\(+\log_354-\log_32=\log_354-\log_32\)

No i mamy klasyczne odejmowanie logarytmów 🙂 Ten przykład omawiałam już w tym wpisie, więc nie będę go dalej rozwiązywać.

Na marginesie, trik z zamianą kolejności można stosować praktycznie do wszystkiego, nie tylko do logarytmów. Ważne jest, by zamieniać razem ze znakiem, który stoi z przodu: czyli na przykład \(-5+3\) to to samo, co \(+3-5\).

PODSUMOWANIE

\(\class{tc1}{1.}\) Jeśli logarytmy mają takie same podstawy, możemy skorzystać ze wzorów na ich dodawanie i odejmowanie.

\(\class{tc1}{\log_ax+\log_ay=\log_a(x\cdot y)}\)

\(\hspace{0.5cm}\)Przykład: \(\log_63+\log_612=\log_6(3\cdot 12)=\) \(\log_6 36\)

\(\class{tc1}{\log_ax-\log_ay= \log_a\large\frac{x}{y}}\)

\(\hspace{0.5cm}\)Przykład: \(\log_515-\log_53= \log_5\large\frac{15}{3}=\) \(\log_55\)

\(\class{tc1}{2.}\) Jeśli mamy więcej, niż dwa logarytmy, to taki przykład rozkładamy na kawałki.

\(\hspace{0.5cm}\)Przykład: \(\log_63+\log_610-\log_65=\)\( \ \log_630-\log_65= \log_66\)

\(\class{tc1}{3.}\) Jeśli działanie zaczyna się od logarytmu na minusie, to możemy zamienić kolejność logarytmów (przenosząc je razem ze znakami, które przed nimi stoją).

\(\hspace{0.5cm}\)Przykład: \(-\log_32+\log_354=+\log_354-\log_32=\) \(\ \log_327\)

\(\class{tc1}{4.}\) Jeśli w działaniu przed którymś z logarytmów stoi liczba (i przez to nie możemy zastosować wzoru na dodawanie czy odejmowanie logarytmów), możemy tę liczbę "wciągnąć do środka", korzystając z następującego wzoru:

\(\class{tc1}{r\log_ax=\log_ax^r}\)

\(\hspace{0.5cm}\)Przykład: \(2\log_510-\log_54= \log_510^2-\log_54=\) \(\ \log_5100-\log_54=\)\(\ \log_525\)

\(\class{tc1}{5.}\) Gdy doprowadzimy działanie do postaci, w której mamy tylko jeden logarytm, należy go obliczyć (chyba że w danym przypadku nie jest to możliwe i wymaga się od nas jedynie doprowadzenia do najprostszej postaci).

\(\hspace{0.5cm}\)Przykład: \(\log_525=2\), ponieważ \(5^2=25\)

\(\class{tc1}{6.}\) W przypadku, gdy logarytmy nie mają takich samych podstaw, musimy każdy z nich obliczyć osobno i dopiero wtedy wyniki dodać czy odjąć.

\(\hspace{0.5cm}\)Przykład: \(\log_28-\log_39=3-2=1\)


PS: Na koniec chciałabym zaznaczyć, że na swoim blogu pokazuję sposoby, które uważam za najprostsze. Siłą rzeczy nie zawsze będą to sposoby najszybsze 🙂

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorce

Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!