Działania na logarytmach

Spis treści

• Dodawanie logarytmów
• Odejmowanie logarytmów
• Mnożenie logarytmu przez liczbę
• Kilka trudniejszych przypadków

Dodawanie logarytmów

Wyobraź sobie, że mamy do wykonania takie działanie:

W takim wypadku musimy najpierw obliczyć każdy z logarytmów, a następnie dodać do siebie ich wyniki.

ponieważ

ponieważ

Obliczanie logarytmów bardzo szczegółowo omówiłam w osobnym wpisie.

Taką procedurę stosujemy wtedy, gdy dodawane przez nas logarytmy mają różne podstawy - tak było w tym przypadku:

Jeśli jednak mamy dwa logarytmy o takich samych podstawach, na przykład , to mamy możliwość skorzystania ze wzoru, który ułatwi nam życie. Wygląda on tak:

Spójrz na przykłady:

Dzięki skorzystaniu tego wzoru mamy do obliczenia jeden logarytm zamiast dwóch (dodatkowo czasami są takie przypadki, że dwóch dodawanych logarytmów nie da się obliczyć osobno, a jedynie po użyciu tego wzoru).

Przejdźmy teraz krok po kroku przez przykładowe zadanie.

Podane tu logarytmy nie mają podstaw, a to oznacza, że tak naprawdę mają podstawę równą - dopiszmy ją:

Mamy takie same podstawy, możemy więc skorzystać ze wzoru:

Wykonujemy mnożenie.

Gdy mamy już jeden logarytm, możemy się zabrać za jego obliczenie. Najpierw zamienię logarytm na potęgowanie, korzystając z definicji logarytmu:

Teraz po obu stronach chcemy mieć potęgi o takich samych podstawach, dlatego zamienię na .

Mamy takie same podstawy, możemy więc przyrównać wykładniki:

A ponieważ przez oznaczyliśmy sobie wynik logarytmu, to

Jeśli sposób obliczania logarytmu był dla Ciebie niezrozumiały, zajrzyj do tego wpisu - tam jest omówiony bardzo szczegółowo.

Odejmowanie logarytmów

Dokładnie tak samo jest z odejmowaniem logarytmów: jeśli logarytmy mają takie same podstawy, to mamy na nie wzór:

Na przykład:

To teraz przejdźmy przez przykładowe zadanie.

Mamy odejmowanie dwóch logarytmów, które mają tę samą podstawę. Możemy więc zastosować nasz wzór:

OK, mamy jeden logarytm zamiast dwóch, jego wynik oznaczmy sobie jako .

Następnie zamieniamy logarytm na potęgowanie.

Chcemy mieć takie same podstawy potęg po obu stronach, dlatego zamienię na .

Mamy takie same podstawy, możemy więc przyrównać wykładniki.

A ponieważ to wynik naszego logarytmu, to

Mnożenie logarytmu przez liczbę

Ostatni wzór dotyczy sytuacji, gdy przed logarytmem stoi liczba, np. mamy . Wygląda on tak:

Ten wzór mówi nam, że jeśli przed logarytmem stoi liczba, to możemy ją "wciągnąć" do środka logarytmu. Na przykład:

Ten wzór sam w sobie tak naprawdę nie jest potrzebny, natomiast bywa bardzo pomocny w połączeniu z poprzednimi dwoma, na dodawanie i odejmowanie logarytmów. Pokażę Ci to na przykładzie.

Mamy odejmowanie logarytmów. Logarytmy mają tę samą podstawę. No aż prosi się, by zastosować wzór na odejmowanie logarytmów. Jest tylko jeden problem. Porównaj sobie to, co mamy obliczyć, ze wzorem.

Ten wzór nie przewiduje scenariusza, w którym przed logarytmem stoi liczba. Dlatego najpierw musimy się tej dwójki pozbyć, a do tego idealnie nada się trzeci wzór.

Teraz możemy zastosować wzór na odejmowanie logarytmów:

Mamy już tylko jeden logarytm, teraz wystarczy go obliczyć. Najpierw zamienimy logarytm na potęgowanie.

Zamieniamy na i przyrównujemy wykładniki.

Przez oznaczyliśmy wynik logarytmu, więc

Kilka trudniejszych przypadków

Jak w każdym możliwym temacie, tak i tutaj mogą pojawić się różne haczyki. Po pierwsze: mamy wzory na dodawanie lub odejmowanie dwóch logarytmów. A co jeśli logarytmów jest więcej? Na przykład tutaj:

W tej sytuacji musimy po prostu zastosować wzór dwa razy. Zaczniemy od pozbycia się sumy.

Potrzebujemy tego wzoru:

Teraz mamy już tylko dwa logarytmy. Stosujemy drugi wzór.

Na taki logarytm mamy gotowy wzór. O tym, skąd się wziął, możesz poczytać tutaj.

Wielu osobom sprawia problem również taki przypadek:

Niby mamy dodawanie logarytmów, bo między nimi stoi plus, ale przed pierwszym logarytmem stoi minus, więc w sumie to nie wiadomo. W takiej sytuacji stosujemy bardzo prosty zabieg: zamieniamy logarytmy miejscami, ale uwaga: razem z przyczepionymi do nich znakami.

Plus z przodu możemy pominąć (tak samo jak go pomijamy mówiąc, że mamy dwa jabłka, a nie plus dwa jabłka).

No i mamy klasyczne odejmowanie logarytmów 🙂 Ten przykład omawiałam już w tym wpisie, więc nie będę go dalej rozwiązywać.

Na marginesie, trik z zamianą kolejności można stosować praktycznie do wszystkiego, nie tylko do logarytmów. Ważne jest, by zamieniać razem ze znakiem, który stoi z przodu: czyli na przykład to to samo, co .