Funkcje

Własności funkcji liniowej

Spis treści

  • Wzór funkcji liniowej
  • Przykłady funkcji liniowej
  • Wykres funkcji liniowej
  • Miejsce zerowe funkcji liniowej
  • Znaczenie współczynników we wzorze funkcji liniowej
  • Monotoniczność funkcji liniowej
  • Trudniejsze przypadki

Wzór funkcji liniowej

Funkcja liniowa określona jest wzorem

\(\class{bu6}{f(x)=ax+b}\)

Może być też zapisana tak:

\(\class{bu7}{y=ax+b}\)

W tym wzorze współczynniki \(a\) oraz \(b\) mogą być dowolnymi liczbami.

Przykłady funkcji liniowej

Każda funkcja, która jest postaci \(f(x)=\class{tc1}{a}x+\class{tc2}{b}\), jest funkcją liniową. Poniżej możesz zobaczyć przykłady wzorów takiej funkcji:

  • \(f(x)=\class{tc1}{-2}x+\class{tc2}{4}\)
  • \(f(x)=\class{tc1}{3}x\class{tc2}{-2}\)

Wszystkie dalsze zagadnienia związane z funkcją liniową omówię na przykładzie tych dwóch funkcji.

Wykres funkcji liniowej

Jak wskazuje nam nazwa, wykres funkcji liniowej jest prostą linią. Aby narysować wykres funkcji liniowej, potrzebujemy dwóch punktów, które do tej funkcji należą.

Zacznijmy od pierwszej funkcji.

\(f(x)=-2x+4\)

Aby znaleźć potrzebne nam punkty, zrobimy sobie tabelkę.

W wierszu \(x\) wstawiamy dwie dowolne liczby. Warto wybrać takie, które będą proste w rachunkach, na przykład \(0\) i \(1\).

I teraz tak: bierzemy wzór naszej funkcji i w miejsce \(x\)-a podstawiamy wybrane przez nas wartości.

Nasza funkcja ma wzór \(f(x)=-2x+4\). Żeby nam się nie myliło, możemy ją sobie zapisać w postaci \(y=-2x+4\). W miejsce \(x\)-a wstawiamy pierwszą wybraną przez nas wartość, czyli \(0\).

\(y=-2\class{tc6}{x}+4\)

\(y=-2\cdot \class{tc6}{0}+4=0+4=4\)

Otrzymaną wartość wpisujemy do tabeli pod zerem.

Teraz w miejsce \(x\)-a podstawiam drugą wybraną przez nas wartość, czyli \(1\).

\(y=-2\class{tc6}{x}+4\)

\(y=-2\cdot \class{tc6}{1}+4=-2+4=2\)

Wynik wpisujemy do tabeli pod jedynką.

Otrzymaliśmy dwa punkty należące do naszej funkcji:

\((0,4)\)

\((1,2)\)

Zaznaczamy je w układzie współrzędnych.

Teraz łączymy punkty prostą linią.

Ta prosta linia, którą otrzymaliśmy, to wykres funkcji \(f(x)=-2x+4\).

Niektóre osoby mają problem z narysowaniem prostej linii na podstawie jedynie dwóch punktów. W takiej sytuacji możemy już bez tabelki zaznaczyć dodatkowe punkty. Najpierw patrzymy, jaką "drogę" musimy pokonać między dwoma zaznaczonymi punktami.

Żeby przejść od jednego punktu do drugiego musimy przemieścić się o jedną kratkę w prawo i dwie w dół. W ten sam sposób możemy przejść do następnych punktów.

Mając ich więcej, łatwiej jest narysować prostą linię 🙂

Teraz drugi wykres.

\(f(x)=3x-2\)

Najpierw robię tabelkę. Ponownie wybieram sobie dwie wartości \(x\)-a, \(0\) oraz \(1\) (pamiętaj, że możemy wybrać też inne liczby, po prostu te dwie prawie zawsze są najmniej kłopotliwe w rachunkach).

Teraz wybrane przez nas wartości podstawiamy do wzoru funkcji.

\(y=3\class{tc6}{x}-2\)

\(y=3\cdot \class{tc6}{0}-2=0-2=-2\)

\(y=3\class{tc6}{x}-2\)

\(y=3\cdot \class{tc6}{1}-2=3-2=1\)

W ten sposób otrzymaliśmy dwa punkty:

\((0,-2)\)

\((1,1)\)

Zaznaczamy te punkty w układzie współrzędnych.

Łączymy zaznaczone punkty.

Otrzymana prosta to wykres funkcji \(f(x)=3x-2\).

I znowu, jeśli dwa punkty to dla nas za mało, możemy zaznaczyć ich więcej. Najpierw patrzymy, jaką drogę musimy pokonać od jednego punktu do drugiego.

U nas jest to jedna kratka w prawo i trzy w górę. Następnie tę drogę powtarzamy, zaznaczając kolejne punkty.

Tak na marginesie - metoda tabelki sprawdza się nie tylko przy funkcji liniowej, ale też przy wszystkich innych funkcjach (z tą różnicą, że przy innych funkcjach potrzebujemy więcej niż dwa punkty).

Znaczenie współczynników we wzorze funkcji liniowej

Funkcja liniowa jest postaci \(f(x)=ax+b\). Mamy tu dwa współczynniki: \(a\) oraz \(b\).

Współczynnik \(a\) nazywamy współczynnikiem kierunkowym, natomiast \(b\) - wyrazem wolnym. Mówiąc najprościej, współczynnik \(a\) to liczba, która stoi przy \(x\)-ie (razem ze znakiem), a współczynnik \(b\) to to, co zostało.

Najpierw omówię współczynnik \(b\).

Współczynnik \(b\), czyli wyraz wolny, mówi nam, w którym miejscu funkcja przecina oś \(Oy\). Ten punkt przecięcia to \((0, b)\).
Wiele osób nie bardzo wie, co to jest to "\(Oy\)" i jak to czytać.

Oś \(Oy\) to pionowa oś, na której mamy wartości \(y\)-ów. Z kolei oś \(Ox\) to pozioma oś, na której mamy wartości \(x\)-ów. Przy literach \(x\) i \(y\) stoi wielka litera O (jak Ola), nie zero. Czytamy to następująco:

  • oś \(Ox\) - "oś o iks"
  • oś \(Oy\) - "oś o igrek".

Zobaczmy to na przykładach.

\(f(x)=-2x+4\)

Współczynnik \(b\) to ta liczba we wzorze funkcji, przy której nie stoi \(x\). W tym przypadku jest to \(4\).

\(f(x)=ax+\class{tc1}{b}\)

\(f(x)=-2x+\class{tc1}{4}\)

I teraz tak: punkt przecięcia z osią \(Oy\) to \((0,b)\), czyli dla naszej funkcji będzie to \((0, 4)\). Możesz to zobaczyć na rysunku.

Teraz druga funkcja.

\(f(x)=3x-2\)

Szukamy współczynnika \(b\), czyli liczby, przy której nie stoi \(x\). U nas będzie to \(-2\).

\(f(x)=ax+\class{tc1}{b}\)

\(f(x)=3x\class{tc1}{-2}\)

Możesz zauważyć, że we wzorze \(f(x)=ax+b\) przed \(b\) stoi plus, a we wzorze naszej funkcji \(f(x)=3x-2\) tego plusa nie ma. Wynika to po prostu z uproszczenia. Możemy nasz wzór zapisać tak:

\(f(x)=3x+(\class{tc1}{-2})\)

i wtedy wszystko się zgadza 🙂

Skoro \(b=-2\), to punkt przecięcia z osią \(Oy\) to u nas \((0,-2)\).

Może nam się trafić funkcja liniowa, która jest postaci \(f(x)=ax\), na przykład taka:

\(f(x)=-4x\)

Czy taka funkcja nie ma wyrazu wolnego? Ma - jest on równy zero, tylko po prostu tego zera nie zapisujemy (tak samo jak nie mówimy, że mamy dwie gruszki i zero jabłek, tylko po prostu mamy dwie gruszki).

\(f(x)=ax+\class{tc1}{b}\)

\(f(x)=-4x+\class{tc1}{0}\)

W takiej sytuacji wykres funkcji przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,b)\), czyli \((0,0)\) - jest to jednocześnie punkt przecięcia tej funkcji z osią \(Ox\).

Przejdźmy do drugiego współczynnika.

Współczynnik \(a\), czyli współczynnik kierunkowy, mówi nam, w którym kierunku układa się prosta. Możemy z niego wywnioskować, czy funkcja jest rosnąca, malejąca czy stała.

I tu przechodzimy do następnego tematu.

Monotoniczność funkcji liniowej

Jeśli współczynnik kierunkowy jest dodatni, to funkcja jest rosnąca, natomiast jeśli jest ujemny, to funkcja jest malejąca.

Zobaczmy to na przykładach:

\(f(x)=-2x+4\)

Współczynnik kierunkowy to to, co stoi przy \(x\)-ie. W tym przypadku jest on równy \(-2\).

\(f(x)=\class{tc7}{a}x+b\)

\(f(x)=\class{tc7}{-2}x+4\)

Współczynnik \(a\) jest ujemny, a to znaczy, że funkcja jest malejąca (czyli patrząc od lewej strony do prawej, idzie do dołu). Na wykresie możesz zobaczyć, że faktycznie tak jest.

Teraz druga funkcja.

\(f(x)=3x-2\)

Tutaj współczynnik kierunkowy jest równy \(3\).

\(f(x)=\class{tc7}{a}x+b\)

\(f(x)=\class{tc7}{3}x-2\)

Jest to liczba dodatnia, więc wiemy, że funkcja jest rosnąca.

Możemy mieć jeszcze trzeci przypadek - funkcję stałą.

Funkcja stała to taka funkcja, która dla wszystkich \(x\)-ów przyjmuje taką samą wartość. Jej wykres nie idzie ani do góry, ani do dołu - jest poziomą linią. Mamy z nią do czynienia wtedy, gdy współczynnik kierunkowy jest równy zero, a więc funkcja jest postaci \(f(x)=b\).

Funkcja stała może wyglądać na przykład tak:

\(f(x)=2\)

Nie widzimy tu współczynnika \(a\), ale tak naprawdę jest on równy zero (tylko tego zera nie zapisujemy, bo nie ma sensu pisać, że mamy zero iksów).

\(f(x)=\class{tc7}{a}x+b\)

\(f(x)=\class{tc7}{0}x+2\)

Poniżej możesz zobaczyć, jak wygląda wykres funkcji stałej.

Miejsce zerowe funkcji liniowej

Miejsce zerowe funkcji to taka wartość \(x\)-a, dla której wartość funkcji (czyli \(f(x)\) lub \(y\)) jest równa zero. Mówiąc prościej: miejsce zerowe to taka liczba, którą trzeba podstawić do wzoru funkcji w miejsce \(x\)-a, żeby wyszło zero.

Pokażę Ci to na przykładach.

\(f(x)=-2x+4\)

Aby znaleźć miejsce zerowe, bierzemy wzór funkcji i w miejsce \(f(x)\) wstawiamy zero. Robimy tak dlatego, że chcemy znaleźć taką wartość \(x\)-a, dla której wartość funkcji (czyli właśnie \(f(x)\)) jest równa \(0\).

\(0=-2x+4\)

Otrzymaliśmy równanie do rozwiązania. Zaczynam od przerzucenia \(x\)-ów na lewo.

\(2x=4\)

Teraz dzielę obustronnie przez to, co stoi przy \(x\)-ie, czyli przez \(2\).

\(x=\large\frac{4}{2}\)

Możemy skrócić czwórkę z dwójką.

\(x=\large\frac{\cancel{4}^2}{\cancel{2}^1}\)

\(x=2\)

Otrzymany wynik to miejsce zerowe funkcji \(f(x)=-2x+4\). Zwykle miejsce zerowe oznaczamy jako \(x_0\).

\(\underline{x_0=2}\)

Jak się to ma do wykresu?

Miejsce zerowe mówi nam, w którym miejscu wykres funkcji przecina oś \(Ox\). Jeśli miejsce zerowe to \(x_0\), to funkcja przecina oś \(Ox\) i punkcie \((x_0, 0)\).

Skoro u nas \(x_0=2\), to miejscem przecięcia osi \(Ox\) będzie punkt \((2,0)\). Na wykresie możesz zobaczyć, że faktycznie tak jest.

W tym miejscu dwie uwagi:

1. Nazwa "miejsce zerowe" jest myląca, bo słowo "miejsce" sugeruje punkt. Tymczasem miejsce zerowe to \(x\)-owa współrzędna punktu.

2. Mówiłam Ci, że aby wyznaczyć miejsce zerowe, w miejscu \(f(x)\) wpisujemy \(0\). Faktycznie funkcję najczęściej oznaczamy jako \(f\), ale równie dobrze może to być \(g(x)\), \(h(x)\) czy \(a(x)\) i wtedy tam wstawiamy zero.


Teraz druga funkcja.

\(f(x)=3x-2\)

Sposób wyznaczania miejsca zerowego, który Ci pokazałam w poprzednim przykładzie, działa dla wszystkich rodzajów funkcji. Teraz pokażę Ci sposób, który jest szybszy, ale działa tylko dla funkcji liniowej.

Dla funkcji liniowej mamy gotowy wzór na miejsce zerowe:

\(x_0=-\large\frac{\class{tc6}{b}}{\class{tc1}{a}}\)

My mamy funkcję \(f(x)=\class{tc1}{3}x \class{tc6}{-2}\), więc u nas

\(x_0=-\large\frac{\class{tc6}{-2}}{\class{tc1}{3}}\)

Dwa minusy dają nam plus.

\(\underline{x_0=\large\frac{2}{3}}\)

Ponieważ punkt przecięcia z osią \(Ox\) to \((x_0,0)\), możemy wywnioskować, że u nas będzie to \((\frac{2}{3},0)\). Możesz zobaczyć to na wykresie.

Trudniejsze przypadki

Czasem trafiają się przykłady, w których pojawia się problem przy określeniu, gdzie jest \(a\), a gdzie \(b\). Jeśli mamy taką funkcję:

\(f(x)=2x+1\)

to jest łatwo: \(a=2\), \(b=1\).

\(f(x)=\class{tc1}{a}x+\class{tc6}{b}\)

\(f(x)=\class{tc1}{2}x+\class{tc6}{1}\)

Ale co w takich przypadkach?

\(f(x)=12-6x\)

\(f(x)=2x+\sqrt 3 -1\)

\(f(x)= -(4+\sqrt 2)x -2\)

\(f(x)= x + 6\)

\(f(x)= -\large\frac{x}{3} +\frac{5}{6}\)

Wszystkie te przykłady to funkcja liniowa, choć może nie widać tego na pierwszy rzut oka. Pokażę Ci, jak w takich przypadkach wyznaczyć \(a\) oraz \(b\).

\(f(x)=12-6x\)

Wiele osób popełnia taki błąd, że za \(a\) bierze pierwszą liczbę (czyli \(12\)), a za \(b\) drugą (czyli \(-6\)). Tymczasem jest odwrotnie: \(a\) to ta liczba, która stoi przy \(x\)-ie. Łatwiej będzie to zobaczyć, przestawimy sobie elementy.

\(\class{bu2}{12} \ \ \class{bu7}{-6x}=\class{bu7}{-6x}+\class{bu2}{12}\)


\(f(x)=\class{tc1}{a}x+\class{tc6}{b}\)

\(f(x)=\class{tc1}{-6}x+\class{tc6}{12}\)

\(f(x)=2x+\sqrt 3 -1\)

Tu część osób nie wie, czy \(b\) jest równe \(\sqrt 3\), czy \(-1\), czy może jedno i drugie? Współczynnik \(b\) to ten kawałek funkcji, przy którym nie stoi \(x\). U nas więc \(b=\sqrt 3 -1\).

\(f(x)=\class{tc1}{a}x+\class{tc6}{b}\)

\(f(x)=\class{tc1}{2}x+\class{tc6}{\sqrt 3 -1}\)

\(f(x)= -(4+\sqrt 2)x -2\)

Tu z kolei współczynnik \(a\) jest "rozbudowany". Jak najbardziej \(a\) może się składać z więcej niż jednej liczby.

\(f(x)=\class{tc1}{a}x+\class{tc6}{b}\)

\(f(x)=\class{tc1}{-(4+\sqrt 2)}x \class{tc6}{-2}\)

\(f(x)= x + 6\)

W tym przypadku pojawia się pytanie, gdzie jest \(a\). Część osób błędnie uznaje, że skoro go nie ma to znaczy, że \(a=0\). Możemy łatwo rozwiązać ten problem wiedząc, że \(x\) to to samo, co \(1x\) (tak samo jak krzesło to to samo, co jedno krzesło).

\(f(x)=\class{tc1}{a}x+\class{tc6}{b}\)

\(f(x)=\class{tc1}{1}x+\class{tc6}{6}\)

\(f(x)= -\large\frac{x}{3} +\frac{5}{6}\)

Tutaj część osób zapisuje, że \(a=-3\). Jest to błąd. W takim przypadku wyciągamy \(x\) poza ułamek i zamiast \(-\large\frac{x}{3}\) zapisujemy \(-\large\frac{1}{3}x\).

\(f(x)=\class{tc1}{a}x+\class{tc6}{b}\)

\(f(x)=\large\class{tc1}{-\frac{1}{3}}x+\class{tc6}{\frac{5}{6}}\)


PODSUMOWANIE

\(\class{tc1}{1.}\) Funkcja liniowa jest postaci

\(\class{tc1}{f(x)=ax+b}\)

\(\hspace{0.5cm}\)Przykład: Funkcja \(f(x)=-2x+4\) jest funkcją liniową.

\(\class{tc1}{2.}\) Aby narysować wykres funkcji, robimy tabelkę, do której wpisujemy wybrane przez siebie wartości \(x\)-a. Następnie podstawiamy te wartości do wzoru funkcji, otrzymując w ten sposób wartości \(y\)-a. Otrzymane punkty zaznaczamy w układzie współrzędnych i łączymy prostą linią.

\(\hspace{0.5cm}\)Przykład:

\(y=-2x+4\)

\(y=-2\cdot 0+4=4\)

\(y=-2\cdot 1+4=2\)

\(\class{tc1}{3.}\) Liczba we wzorze, przy której nie stoi \(x\), to współczynnik \(b\), czyli wyraz wolny.

\(\hspace{0.5cm}\)Przykład: Dla funkcji \(f(x)=-2x+4\) współczynnik \(b\) jest równy \(4\).

\(\class{tc1}{4.}\) Punkt \((0,b)\) to punkt przecięcia z osią \(Oy\).

\(\hspace{0.5cm}\)Przykład: Dla funkcji \(f(x)=-2x+4\) punkt przecięcia z osią \(Oy\) to \((0,4)\).

\(\class{tc1}{5.}\) Jeśli funkcja jest postaci \(f(x)=ax\), to \(b=0\). Taka funkcja przechodzi przez początek układu współrzędnych.

\(\hspace{0.5cm}\)Przykład: Dla funkcji \(f(x)=-4x\) współczynnik \(b\) wynosi \(0\).

\(\class{tc1}{6.}\) Liczba we wzorze, przy której stoi \(x\), to współczynnik \(a\), czyli współczynnik kierunkowy.

\(\hspace{0.5cm}\)Przykład: Dla funkcji \(f(x)=-2x+4\) współczynnik \(a\) wynosi \(-2\).

\(\class{tc1}{7.}\) Współczynnik \(a\) mówi nam, jaka jest monotoniczność funkcji.

Jeśli \(a>0\), to funkcja jest rosnąca.

Jeśli \(a< 0\), to funkcja jest malejąca.

\(\hspace{0.5cm}\)Przykład: Funkcja \(f(x)=-2x+4\) jest malejąca, ponieważ \(-2< 0\).

\(\class{tc1}{8.}\) Jeśli funkcja jest postaci \(f(x)=b\), to jest to funkcja stała. W takim wypadku \(a=0\).

\(\hspace{0.5cm}\)Przykład: Funkcja \(f(x)=2\) jest stała. Współczynnik kierunkowy dla tej funkcji jest równy zero.

\(\class{tc1}{9.}\) Miejsce zerowe to taka wartość \(x\)-a, dla której wartość \(y\)-a wynosi zero. Dla funkcji liniowej możemy wyznaczyć je ze wzoru

\(\class{tc1}{x_0=-\large\frac{b}{a}}\)

\(\hspace{0.5cm}\)Przykład: Dla funkcji \(f(x)=-2x+4\) miejsce zerowe to

\(x_0=-\large\frac{4}{-2}\)\(=2\)

\(\class{tc1}{10.}\) Punkt przecięcia z osią \(Ox\) to \((x_0,0)\).

\(\hspace{0.5cm}\)Przykład: Dla funkcji \(f(x)=-2x+4\) punkt przecięcia z osią \(Ox\) to \((2,0)\).


PS: Na koniec chciałabym zaznaczyć, że na swoim blogu pokazuję sposoby, które uważam za najprostsze. Siłą rzeczy nie zawsze będą to sposoby najszybsze 🙂

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorce

Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!