Wyzwanie maturalne

C.

Zacznijmy od zaznaczenia na rysunku kąta, który chcemy wyznaczyć.

Kolejna rzecz: jeżeli mamy postą styczną do okręgu, to między nią a promieniem mamy kąt prosty.

Następna obserwacja: trójkąt jest trójkątem równoramiennym - zarówno bok , jak i bok są promieniami koła, więc mają tę samą długość. Wiemy więc, że kąty przy ramionach mają taką samą miarę. Wyznaczmy ją.

Jak widzisz, kąt między styczną a promieniem, który jest kątem prostym, jest jednocześnie równy . Stąd możemy wyznaczyć kąt .

Poprawna jest więc odpowiedź C.

B.

Zaczniemy od tego, że kąt między wysokością równoległoboku a jego podstawą jest kątem prostym.

Kąt ma miarę , więc kąt zaznaczony na zielono musi mieć , tak aby razem dawały .

Teraz możemy wyznaczyć kąt .

Poprawna jest więc odpowiedź B.

A.

Najpierw zróbmy rysunek. Mamy romb (czyli taki równoległobok, który ma wszystkie boki równe) o boku równym . Jego większy kąt ma miarę .

Skoro chcemy wyznaczyć pole, to poprowadźmy sobie wysokość.

Wysokość podzieliła nam kąt rozwarty na dwa kąty: kąt prosty i kąt . W ten sposób powstał nam trójkąt .

Ten trójkąt ma charakterystyczne proporcje: jeżeli bok naprzeciwko kąta oznaczymy jako , to bok naprzeciwko kąta będzie równy , natomiast bok naprzeciwko kąta prostego będzie równy .

Skoro tak, to możemy zauważyć, że wysokość rombu jest równa - bo jest dwa razy krótsza od boku rombu o długości .

Skoro mamy już bok i wysokość, możemy wyznaczyć pole rombu.

Otrzymaliśmy odpowiedź A.

B.

Mamy wyznaczyć . Zacznijmy od zaznaczenia brakujących kątów.

Trójkąty są do siebie podobne, więc boki, które leżą naprzeciwko takiego samego kąta, są do siebie proporcjonalne. Tak więc bok jest proporcjonalny do boku , bo oba leżą naprzeciwko kąta . Na tej samej zasadzie bok jest proporcjonalny do boku . Możemy więc zapisać, że

Podstawiamy długości tych boków.

Po prawej stronie możemy skrócić ułamek.

Teraz pomnożymy obustronnie przez żeby wyznaczyć .

Otrzymaliśmy odpowiedź B.

B.

Zaznaczmy sobie na rysunku długość odcinka, którą mamy wyznaczyć.

Zauważ, że skoro odcinek jest równoległy do boku , to trójkąt ma takie same kąty, jak trójkąt - a skoro tak, to te trójkąty są do siebie podobne (spełniają cechę kąt-kąt-kąt).

Możemy więc skorzystać z tego, że jego boki są do siebie proporcjonalne - bok do boku , a bok do boku . Wynika z tego, że

Podstawiamy długości boków.

Ułamek po lewej stronie możemy sobie skrócić.

Teraz pomnożymy na krzyż.

Otrzymaliśmy odpowiedź B.

C.

Zaczniemy od zaznaczenia na rysunku informacji z zadania.

Teraz kluczem do sukcesu jest zauważenie, że trójkąty oraz są podobne. Możemy to wywnioskować, ponieważ mają takie same kąty. Po pierwsze, w obu trójkątach mamy kąt prosty (kąt między styczną a promieniem). Po drugie, mamy kąty wierzchołkowe, które są takie same (to te zaznaczone na niebiesko). No a skoro dwa kąty są takie same, to trzeci też musi być taki sam. Tak więc trójkąty te spełniają cechę kąt-kąt-kąt, są zatem podobne.

Skoro te trójkąty są podobne, to możemy skorzystać z tego, że ich boki są proporcjonalne. Bok jest proporcjonalny do boku , a bok do boku . Możemy więc zapisać, że

Długość boku , czyli tego, który chcemy policzyć, oznaczmy sobie jako . Ponieważ , długość wynosi .

Wstawiamy to do równania.

Wykonujemy mnożenie na krzyż.

Przerzucamy na prawą stronę.

Odpowiedź C.

C.

W tablicach znajdziemy informację, że wierzchołek paraboli ma współrzędne , gdzie

W naszej funkcji , i . Podstawmy to do wzoru na pierwszą współrzędną:

W tym miejscu możemy skończyć liczenie, bo tylko w jednej odpowiedzi mamy współrzędną -ową równą . Ja jednak będę nadgorliwa i policzę jeszcze drugą współrzędną. Potrzebujemy do tego delty. Skorzystamy ze wzoru:

Podstawiamy to do wzoru na drugą współrzędną:

Poprawna jest zatem odpowiedź C.

C.

Współczynnik to -owa współrzędna punktu przecięcia funkcji z osią .

Dla naszej funkcji ten punkt przecięcia to , a więc współczynnik jest równy .

Odpowiedź C.

A.

Nasza funkcja ma wzór . Jest to wzór w postaci iloczynowej.

Co możemy z niego wywnioskować? Po pierwsze, współczynnik jest równy . Jest to liczba ujemna, więc nasza funkcja ma ramiona skierowane do dołu. Po drugie, i , czyli miejsca zerowe tej funkcji, są równe oraz . Możemy więc naszkicować uproszczony wykres tej funkcji.

Pytanie jest o to, w jakim przedziale funkcja jest malejąca (chodzi tu o przedział -ów). Zwróć uwagę, że funkcja jest malejąca na prawo od wierzchołka paraboli.

Aby wiedzieć, jaki to jest przedział, musimy mieć -ową współrzędną wierzchołka paraboli. Możemy ją wyznaczyć ze wzoru, ale szybciej będzie odczytać ją z wykresu. Ponieważ parabola jest symetryczna, jej wierzchołek jest dokładnie w środku między miejscami zerowymi. Dlatego współrzędna -owa tego wierzchołka to .

Zatem przedział, w którym funkcja jest malejąca, to .

Poprawna jest więc odpowiedź A.

C.

Zbiór wartości to przedział -ów, dla których mamy funkcję. Jeśli patrząc na jej wykres nie widzisz tego od razu, możesz poprowadzić poziome linie od wykresu funkcji do osi , a następnie odczytać, jaki przedział tej osi został zamalowany.

Oś od góry jest zamalowana w całości - funkcja biegnie do nieskończoności (czego nie jesteśmy w stanie narysować ze względu na brak nieskończonych kartek). Od dołu zamalowany obszar sięga liczby . Liczba należy do zbioru wartości, gdyż funkcja faktycznie sięga do , a nie tylko do niej dąży. Stąd . Odpowiedź C.

D.

Podany przedział to przedział -ów. Zaznaczmy sobie ten fragment wykresu funkcji, który jest w tym przedziale.

Mamy znaleźć największą wartość funkcji w tym przedziale - czyli szukamy punktu, który jest najwyżej.

Jak widzisz, najwyżej jest punkt . Pytanie jest o największą wartość funkcji, czyli o jego współrzędną -ową. Jest to , więc poprawna jest odpowiedź D.

D.

Oś symetrii to taka prosta, która dzieli coś (w naszym przypadku wykres funkcji) na dwie takie same połowy - gdybyśmy wzdłuż tej osi złożyli kartkę na pół, części po obu stronach nałożyłyby się na siebie.

Narysujmy sobie oś symetrii naszej funkcji.

Jak zapisać równanie tej osi? Równanie prostej, która jest pionowa, ma zawsze postać równa się cośtam, a to cośtam to liczba, przez którą prosta przechodzi na osi - w naszym przypadku jest to , więc równanie naszej osi to . Odpowiedź D.

B.

Do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych , a to oznacza, że do wzoru funkcji możemy wstawić współrzędne tego punktu.

W ten sposób otrzymaliśmy równanie, z którego możemy wyznaczyć . Najpierw pozbywam się nawiasów:

Następnie przerzucam liczby na prawą stronę, a niewiadome na lewą.

Wykonujemy działania po prawej stronie:

Dzielimy przez to, co stoi przy , czyli przez :

Zero podzielić przez jakąkolwiek liczbę to zero.

Odpowiedź B.

A.

Aby obliczyć , musimy mieć najpierw pełny wzór na , czyli musimy wiedzieć, jaka liczba stoi pod . Wykorzystamy informację, że . To oznacza, że do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych - możemy te współrzędne podstawić do naszego wzoru.

Wykonujemy potęgowanie.

Następnie przerzucamy niewiadome na lewo, a liczby na prawo.

Wykonuję działania po prawej stronie.

Na koniec mnożę obustronnie przez , żeby pozbyć się minusa przy .

Wyznaczyliśmy . Możemy je teraz wstawić do wzoru naszej funkcji.

Aby wyznaczyć musimy w miejsce wstawić .

Wykonujemy potęgowanie.

Teraz wykonuję działania po prawej stronie.

Odpowiedź A.

D.

Tym razem we wzorze funkcji mamy dwie niewiadome: oraz . Mamy też dwa punkty należące do wykresu, które możemy wykorzystać. Pierwszy punkt ma współrzędne . Możemy je wstawić do wzoru funkcji: w miejsce oraz w miejsce :

Drugi punkt podany mamy w mniej oczywisty sposób. Mamy informację, że miejscem zerowym funkcji jest liczba - to znaczy, że do wykresu funkcji należy punkt . Do wzoru funkcji podstawiamy więc w miejsce i w miejsce :

W ten sposób otrzymaliśmy dwa równania z dwiema niewiadomymi. Możemy z nich stworzyć układ równań i wyznaczyć te niewiadome (nas interesuje ).

Z pierwszego równania wyznaczam , a następnie to co otrzymałam wstawiam w miejsce do drugiego równania:

Pierwsze równanie pozostawiam bez zmian, natomiast z drugiego wyznaczam :

Na tym możemy skończyć, bo pytają nas o samo . Poprawna jest odpowiedź D.

B.

Aby wyznaczyć musimy po prostu do wzoru na podstawić w miejsce -a. Jest to liczba ujemna, więc będziemy ją wstawiać w nawiasach.

Do obliczenia tego tworu potrzebne nam będą dwie informacje. Po pierwsze: ujemna liczba podniesiona do parzystej potęgi staje się dodatnia - to nam pozwoli pozbyć się minusa na dole, bo mamy liczbę podniesioną do szóstej potęgi.

Po drugie: jeśli pierwiastek jest podniesiony do takiej potęgi, jak stopień pierwiastka, to możemy się i potęgi, i pierwiastka pozbyć:

Dla nas oznacza to, że . W naszym ułamku na górze mamy . Ponieważ potęga jest nieparzysta, to minus zostaje.

Aby z tej samej własności skorzystać na dole, zamiast zapiszemy . Dzięki temu możemy skorzystać ze wzoru na potęgowanie potęgi.

Udało nam się otrzymać na dole , czyli po prostu .

Wygląda to już w miarę przyzwoicie, wykonujemy teraz po kolei działania.

Skracamy ułamek.

Odpowiedź B.

B.

Mamy wyznaczyć wartość funkcji dla . W tym celu bierzemy wzór na i w miejsce -a podstawiamy . Ponieważ jest złożony z dwóch "kawałków", podstawiamy go w nawiasach.

Teraz wykonamy działania. Najpierw zajmiemy się górą i wykonamy potęgowanie. W tym celu skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia.

Teraz zajmiemy się dołem. Pozbędziemy się nawiasów i wykonanamy działania tam, gdzie się da.

Zauważ, że na górze i na dole mamy to samo, tylko z odwrotnymi znakami. Jeśli w jednym miejscu wyłączymy minus przed nawias, otrzymamy to samo i będziemy mogli sobie skrócić górę z dołem.

Otrzymaliśmy odpowiedź B.

B.

Mamy wyznaczyć . W tym celu bierzemy wzór na i w miejsce -a podstawiamy .

Teraz cała filozofia polega na tym, żeby obliczyć . Zacznijmy od tego, co robi minus w wykładniku potęgi - zamienia nam liczbę na jej odwrotność. Tak więc . My mamy dodatkowo w wykładniku, więc .

Teraz zastanówmy się, co robi ułamkowa potęga - zamienia potęgę na pierwiastek. Liczba w mianowniku to stopień pierwiastka, więc my mamy pierwiastek drugiego stopnia. Stąd .